扩展KMP(Z函数),线性LCP

Posted 2021-06-29 issue是fw

下面解释的并不完整,下次来补充

求串$s$的每个后缀和串$p$的最长公共前缀$(lcp)$

设我们求出了一个数组$\mathrm{z}$,${\mathrm{z}}_{\mathrm{i}}$表示$\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{p}(\mathrm{p}[1...\mathrm{p}\mathrm{l}],\mathrm{p}[\mathrm{i}...\mathrm{p}\mathrm{l}])$

首先考虑我们求出了$i\in [1,k-1]$的所有$\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{l}\mathrm{c}{\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}$,考虑求$\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{l}\mathrm{c}{\mathrm{p}}_{\mathrm{k}}$

也就是求$\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{p}(\mathrm{p}[1...\mathrm{p}\mathrm{l}],\mathrm{s}[\mathrm{k}...\mathrm{s}\mathrm{l}])$

首先我们保存一个$p_0\in [1,k-1]$使得$\mathrm{L}={\mathrm{p}}_0+{\mathrm{z}}_{{\mathrm{p}}_0}-1$最大

Ⅰ.当$k+{\mathrm{z}}_{\mathrm{k}-{\mathrm{p}}_0+1}-1<\mathrm{L}$

令$x=k-p_0+1$,也就是在$p_0$开始的后缀中,$s[k]$位置对应$p[x]$

因为$\mathrm{s}[{\mathrm{p}}_0...\mathrm{L}]=\mathrm{p}[1...\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{l}\mathrm{c}{\mathrm{p}}_{{\mathrm{p}}_0}]$,得到$s[k...L]=p[x...L]$

且$p[1...z_x]=p[x...x+z_x-1]$

所有得到对应关系为$s[k...]$和$p[1...]$的$lcp$为$z_x$

显然这个$lcp$不能再扩大,因为$z_x$只有这么多,下一个字符匹配不上了

Ⅱ.当$k+z_{k-p_0+1}-1>=L$

这个时候显然$lcp$至少是$z_x$,但是往后就不知道了,因为丧失了对应关系

所以从$s[L+1]$开始和$p[z_x+1]$开始匹配

---

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2e7+10;
char p[maxn],s[maxn];
int pl,sl,z[maxn],exlcp[maxn];
void getZ()
{
	z[0] = pl;
	int now = 0, p0 = 1;
	while( now+1<pl && p[now]==p[now+1] )	now++;
	z[1] = now;
	for(int i=2;i<pl;i++)
	{
		if( i+z[i-p0]<p0+z[p0] )
			z[i] = z[i-p0];
		else
		{
			now = max( p0+z[p0]-i,0 );
			while( now+i<pl && p[now]==p[now+i] )	now++;
			z[i] = now; p0 = i;
		}
	}
}
void exkmp()
{
	getZ();
	int now = 0, p0 = 0;
	while( now<pl && now<sl && p[now]==s[now] )	now++;
	exlcp[0] = now;
	for(int i=1;i<sl;i++)
	{
		//设x=z[i-p0],有p[0..x-1]==p[i-p0..i-p0+x-1]
		//s[p0,p0+exlcp[p0]-1]==p[0,exlcp[p0]-1]
		if( i+z[i-p0]<p0+exlcp[p0] )
			exlcp[i] = z[i-p0];
		else
		{
			now = max( p0+exlcp[p0]-i,0 );
			while( now<pl && now+i<sl && p[now]==s[now+i] )	now++;
			exlcp[i] = now; p0 = i;
		}	
	} 
}
int main()
{
	scanf("%s%s",&s,&p);
	pl = strlen( p ), sl = strlen( s );
	exkmp();
	long long ans1 = 0, ans2 = 0;
	for(int i=0;i<pl;i++)	ans1 ^= 1ll*(i+1)*(z[i]+1);
	for(int i=0;i<sl;i++)	ans2 ^= 1ll*(i+1)*(exlcp[i]+1);
	cout << ans1 << "\\n" << ans2;
	return 0; 
}

下标从$1$起(下面的代码是错的)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2e7+10;
char s[maxn],p[maxn];
int sl,pl,z[maxn],ex[maxn];
void Z()
{
	z[1] = pl;
	int now = 1, p0 = 2;
	while( now+1<=pl && p[now]==p[now+1] )	now++;
	z[2] = now-1;
	for(int i=3;i<=pl;i++)
	{
		int x = i-p0+1, L = p0+z[p0]-1;
		if( i+z[x]-1<L )	z[i] = z[x];
		else
		{
			now = max( 1,L-i+2 );
			while( now+i<=pl && p[now+1]==p[now+i] )	now++;
			z[i] = now; p0 = i;
		}
	}	
	for(int i=1;i<=pl;i++)	cout << i << ": " << z[i] << endl;
}
void exkmp()
{
	int now = 0, p0 = 1, mi = min( pl,sl );
	while( now+1<=mi && s[now+1]==p[now+1] )	now++;
	ex以上是关于扩展KMP(Z函数),线性LCP的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
 Z 函数(扩展 KMP)
 扩展KMP
 Z函数（扩展KMP）学习笔记
 扩展KMP
 126B Password[扩展kmp学习]
 扩展KMP模板