CodeForces - 1537E2 Erase and Extend (Hard Version)(扩展KMP-比较两个前缀无限循环后的字典序大小)

Posted 2021-06-29 Frozen_Guardian

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题目大意：给出一个长度为 $n$ 的字符串 $s$，现在可以执行两种操作，构造一个长度为 $m$ 的字符串使得字典序最小：

1. 删除掉末尾的一个字符
2. 将字符串复制一遍并加到末尾（下文我们称之为自增）

题目分析：猜结论+暴力通过 $E1$ 后应该不难发现，答案一定是字符串 $s$ 的某个前缀，循环后取前 $m$ 位作为答案

洛谷有个大神证明了贪心的正确性，这里不多赘述，写此博客是想记录一下 $jiangly$ 大神的结论：
$a^{inf}<b^{inf}<=>a+b<b+a$

知道结论后还是不好实现，瓶颈在于快速比较两个字符串的大小，而两个字符串都是字符串 $s$ 的前缀

这里需要利用扩展 $KMP$ 优化，众所周知扩展 $KMP$ 是利用了动态规划的思想，$O(n)$ 预处理出 $Next[i]$ 为 “后缀 $s[i:n]$ 和字符串 $s$ 的最长公共前缀的长度”

所以这里就可以分两种情况讨论了：假设 $x$ 是我们找到的最优的前缀长度，$i$ 是当前前缀的长度，现在的目的是为了确认 $i$ 所代表的前缀能否更新 $x$ 所代表的前缀，即是否满足 $s[1:i]+s[1:x]<s[1:x]+s[1:i]$，其中加号是连接符号

那么我们的目标就是，对于字符串 $a+b$ 和 $b+a$ ，利用预处理好的 $Next$ 数组，找到首个不相同的位置然后比较单个字符的大小，这样字符串比较的复杂度就是是 $O(1)$ 了

1. $x+Next[x]<i$：$x+Next[x]$ 的意思是将 $x$ 所代表的的前缀自增一次后，首个不同的位置，仍然位于 $i$ 所代表的前缀中，此时直接比较这两个位置即可
2. $x+Next[x]>=i$：放缩一下，因为 $Next[x]<=x$，所以 $x+x>=x+Next[x]>=i$ ，得到 $x+x>=i$，两侧同时减去 $x$ 得到 $x>=i-x$，即 $x>=i-x>=Next[i-x]$。
   所以我们此时已知了两个条件：$x+Next[x]>=i$ 和 $x>=Next[i-x]$
   下面设 $x$ 代表的字符串为 $a$，$i$ 代表的字符串为 $b$，即满足 $|a|<|b|$
   第一个条件，意味着字符串 $a+b$ 和 $b+a$ 的前 $b$ 项一定是相等的。
   第二个条件，意味着 $a+b$ 和 $b+a$ 的首个不相等的位置出现在 $Next[i-x]$ 的位置，直接比较即可

对于上面的情况二，画个图应该比较好理解

代码：

// Problem: E2. Erase and Extend (Hard Version)
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #726 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1537/problem/E2
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
int Next[N];
char s[N];
//预处理计算Next数组
void getNext(const char str[])
{
    int i=0,j,po,len=strlen(str);
    Next[0]=len; //初始化Next[0]
    while(str[i]==str[i+1] && i+1<len) i++; Next[1]=i; //计算Next[1]
    po=1; //初始化po的位置
    for(i=2;i<len;i++)
    {
        if(Next[i-po]+i < Next[po]+po) //第一种情况，可以直接得到Next[i]的值
            Next[i]=Next[i-po];
        else //第二种情况，要继续匹配才能得到Next[i]的值
        {
            j = Next[po]+po-i;
            if(j<0) j=0; //如果i>po+Next[po],则要从头开始匹配
            while(i+j<len && str[j]==str[j+i]) j++; Next[i]=j;
            po=i; //更新po的位置
        }
    }
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int n,m;
	read(n),read(m);
	scanf("%s",s);
	getNext(s);
	int x=1;
	for(int i=2;i<=n;i++) {//i代表的是前缀s[0:i-1]
		if(x+Next[x]<i) {
			if(s[x+Next[x]]<s[Next[x]]) {
				x=i;
			}
		} else if(Next[i-x]<=x) {//now Next[i-x]<=x
			if(s[Next[i-x]]<s[i-x+Next[i-x]]) {
以上是关于CodeForces - 1537E2 Erase and Extend (Hard Version)(扩展KMP-比较两个前缀无限循环后的字典序大小)的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
 Codeforces1303E. Erase Subsequences
 Codeforces1537 E2. Erase and Extend (Hard Version)（lcp）
 [CodeForces7B]Memory Manager
 Codeforces Round #456 (Div. 2)
 Codeforces 1037E Trips图论dfs
 C++ map erase问题