CF990G GCD Counting（树上莫比乌斯反演，分层图，并查集）

Posted 2021-06-29 繁凡さん

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Problem

给定一棵点带权无根树，对于每个 $k\in [1,2\times 10^5]$，求出有多少个无序点对 $(x,y)$ 满足 $x$ 到 $y$ 的简单路径（链）上的所有节点的点权的 $\gcd$ 等于 $k$。（点对中的 $x$ 可以等于 $y$，即单点也算作一个答案）

$1\le n,a_i\le 2\times 10^5$

Input

3
1 2 3
1 2
2 3

Output

1 4
2 1
3 1

Solution

定义树上 $\gcd (x,y)$ 表示 从点 $x$ 到点 $y$ 之间的简单路径（链）经过的所有点的点权的 $\gcd$。

设 $ans=f(k)$ ，其中 $f(n)$ 表示题目中想要求的树上所有 $\gcd (x,y)=n$ 的点对 $(x,y)$ 的数量。显然有些难以下手，因为这里求的是 $\gcd =n$，已经固定了，也就是说我们需要算出所有的 $\gcd$，显然是 $O(n^2)$ 的复杂度。

树上问题比较抽象，不能很简练的列举出数学公式，考虑 $\gcd$ 计数问题尝试直接使用莫比乌斯反演公式解决。我们构造函数 $$F(n)=\sum _{n\mid d}f(d)$$
显然 $F(n)$ 的实际含义为 $n\mid \gcd (x,y)$ 的点对 $(x,y)$ 的数量，即所有简单路径（链）的 $\gcd (x,y)$ 中有因子 $n$ 的点对的数量。

此时根据莫比乌斯反演公式有：

$$f(n)=\sum _{n\mid d}F(d)\mu (\frac{d}{n})$$

因此我们只需要计算 F ( i ) , i ∈ [ 1 , max ⁡ { a [ i ] } ] F(i),i\\in[1,\\max\\{a[i]\\}] F(i),i∈[1,max{a[i]}] ，然后 $O(nlogn)$ 卷积计算 $f(i)$ 即可。（$\gcd (x,y)\le \max (a[i])$）

因为 $F(n)$ 的含义为所有简单路径（链）的 $\gcd (x,y)$ 中有因子 $n$ 的点对的数量，所以我们可以从因子的角度出发，求出所有点权的因子，因为点对 $(x,y)$ 中 $x$ 可以等于 $y$，所以 F(因子)++ ，然后对于所有的因子建分层图，每次处理一个因子。

对于因子 $x$，我们将 $n-1$ 条边 $(u,v)$ 中所有 $\gcd (a[u],a[v])$ 含有因子 $x$ 的边一起构建成一个分层图里，则该分层图中的所有边均有因子 $x$，在建图连边的过程中，对于两条链（连通块） $A,B$，我们需要计算有多少个点对，所以可以用并查集维护每个连通块的点的个数 size，使用并查集将他们连起来的时候，$F(x)$ 得到的新的贡献（新的点对）显然为 $size[A]\times size[B]$（$A$ 中每一个点均可在 $B$ 中任意选择一个点凑成一个新的点对）。对于所有因子执行这一过程，我们就可以计算出所有的 $F(i)$。

最后分析一下复杂度：$1\sim 2\times 10^5$ 中约数最多仅有 $160$ 个，即每条边最多会在 $160$ 个分层图里出现，我们先对每条边分解因子然后构建分层图，然后再枚举分层图使用并查集建图，复杂度为 O ( n × max ⁡ { 160 , n } ) O(n\\times \\max\\{160, \\sqrt{n}\\}) O(n×max{160,n ​})

Code

// Problem: G. GCD Counting
// Contest: Codeforces - Educational Codeforces Round 45 (Rated for Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/problemset/problem/990/G
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 4500 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 2e5 + 7, M = 2e3 + 7;

int n, m, k, t;
int a[N];
int primes[N], cnt, mu[N];
bool vis[N];
int fa[N], siz[N];
ll f[N], F[N];
int u[N], v[N];
int maxx;
vector <int> c[N];

template <typename T> inline void read(T& t) {
    int f = 0, c = getchar(); t = 0; 
    while (!isdigit(c)) f |= c == '-', c = getchar();
    while (isdigit(c)) t = t * 10 + c - 48, c = getchar();
    if (f) t = -t;
} 

template <typename T> void print(T x) {
    if (x < 0) x = -x, putchar('-');
    if (x > 9) print(x / 10);
    putchar(x % 10 + 48);
} 

void init(int n)
{
    vis[1] = 1; 
    mu[1] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++ i) {
        if(vis[i] == 0) {
            primes[ ++ cnt] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 1; j <= cnt && i * primes[j] <= n; ++ j) {
            vis[i * primes[j]] = 1;
            if(i % primes[j] == 0) {
                mu[i * primes[j]] = 0;
                break;
            }
            mu[i * primes[j]] -= mu[i];
        }
    }
}

int Find(int x)
{
    if(fa[x] == x) return x;
    return fa[x] = Find(fa[x]);
}

void Union(int d, int x, int y)
{
    int fx = Find(x);
    int fy = Find(y);
    if(fx == fy) return ;
    F[d] += 1ll * siz[fx] * siz[fy];
    fa[fx] = fy;
    siz[fy] += siz[fx];
}

signed main()
{
    init(N - 7);
    read(n);
    for(以上是关于CF990G GCD Counting（树上莫比乌斯反演，分层图，并查集）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
 CF EDU 1101D GCD Counting 树形DP + 质因子分解
 CF1101D GCD Counting
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 CF900DUnusual Sequences 容斥（莫比乌斯反演）
 CF990G
 Codeforces 990G