浅谈lowbit运算

Posted 2021-06-29 劭兮劭兮

今天一起来简单了解一下lowbit()运算，小白技术水平有限，只是简单介绍一下，欢迎大佬指教！

介绍

首先来简单介绍一下lowbit()，lowbit(x)的值是x的二进制表达式中最低位的1所对应的十进制值。通俗点来说，lowbit(x)是将 x 转化成二进制数之后，只保留最低位（从右往左数，第一位）的1及其后面的0，截断前面的内容，然后再转成10进制数。

举个列子，lowbit(6) = 2，lowbit(7) = 1

原数	二进制	lowbit(x)
6	110	21 = 2
7	111	20 = 1

原理（可能讲解的很不到位，甚至出错，欢迎大佬指教）

1. x=1，lowbit(1) = 1；
   （原码与补码的转换，小伙伴们可以自行了解一下啊）

原数	原码/补码
1	0000 0001
-1	1111 1111

	0 0 0 0 0 0 0 1 
&	1 1 1 1 1 1 1 1
————————————————————————
=	0 0 0 0 0 0 0 1

lowbit(1) = 2⁰ = 1;

2. x=6，lowbit(6) = 2;

原数	原码/补码
6	0000 0110
-6	1111 1010

	0 0 0 0 0 1 1 0
&	1 1 1 1 1 0 1 0
————————————————————————
=	0 0 0 0 0 0 1 0

lowbit(6) = 2¹ = 2;

总结

lowbit(x)=2^p（p是指将x转化为二进制之后从右往左数第一个1的位置）
比如1的二进制写作0000001，1处于第0位，所以p=0, 2⁰=1, 所以lowbit(1)=1；
比如6的二进制写作0000110，1处于第1位，所以p=1, 2¹=2, 所以lowbit(6)=2。

lowbit函数的实现方式

首先，先简单介绍一下两种运算：^运算（异或运算）与 &运算（与运算）：

^运算（异或运算）

运算规则：
0^0=0； 0^1=1； 1^0=1； 1^1=0；

&运算（与运算）

运算规则：

0&0=0；0&1=0；1&0=0；1&1=1

lowbit函数实现方式一：

x&-x

下面是两个简单的列子（小伙伴们可以参考一下）：

1. x=1，lowbit(1) = 1；

（原码与补码的转换，小伙伴们可以自行了解一下啊）

原数	原码/补码
1	0000 0001
-1	1111 1111

	0 0 0 0 0 0 0 1 
&	1 1 1 1 1 1 1 1
————————————————————————
=	0 0 0 0 0 0 0 1

lowbit(1) = 2⁰ = 1;

2. x=6，lowbit(6) = 2;

原数	原码/补码
6	0000 0110
-6	1111 1010

	0 0 0 0 0 1 1 0
&	1 1 1 1 1 0 1 0
————————————————————————
=	0 0 0 0 0 0 1 0

lowbit(6) = 2¹ = 2;

lowbit函数实现方式二：

x&(x^(x-1))

下面举两个例子，来简单说明一下：

1. x=1，lowbit(1) = 1；

原数	原码/补码	x-1
1	0000 0001	0000 0000

第一步
	x-1可以直接按照二进制减法，或者转化为x+(-1)
	
	按照减法做：
	1 的原码：0000 0001
	
	0 0 0 0 0 0 0 1 
-	0 0 0 0 0 0 0 1
————————————————————————
=	0 0 0 0 0 0 0 0
	
	按照加法做：x+(-1)
	-1 的补码：1111 1111
	
	0 0 0 0 0 0 0 1 
+	1 1 1 1 1 1 1 1
————————————————————————
=	0 0 0 0 0 0 0 0

总之，x-1 = (1)₂ - (1)₂ = (0)₂

接下来，进行下一步运算：x^(x-1)

第二步
	x^(x-1) ：
	0 0 0 0 0 0 0 1
^	0 0 0 0 0 0 0 0
————————————————————————
=	0 0 0 0 0 0 0 1

x^(x-1) = （0000 0001）(二进制表示)	

x&(x^(x-1))

第三步
	x&(x^(x-1)) ：
	0 0 0 0 0 0 0 1
&	0 0 0 0 0 0 0 1
————————————————————————
= 0 0 0 0 0 0 0 1

综上三步所述，lowbit(1) = 2⁰ = 1;

2. x=6，lowbit(6) = 2;

原数	原码/补码	x-1
6	0000 0110	0000 0101

	第一步
x-1可以直接按照二进制减法，或者转化为x+(-1)

	按照减法做：
	6 的原码：0000 0110

	0 0 0 0 0 1 1 0
-	0 0 0 0 0 0 0 1
————————————————————————
=	0 0 0 0 0 1 0 1

	按照加法做：x+(-1)
	-1 的补码：1111 1111

	0 0 0 0 0 1 1 0 
+	1 1 1 1 1 1 1 1
————————————————————————
=  0 0 0 0 0 1 0 1 

总之，x-1 = (6)₂ - (1)₂ = (5)₂

接下来，进行下一步运算：x^(x-1)

第二步
	x^(x-1) ：
	0 0 0 0 0 1 1 0
^	0 0 0 0 0 1 0 1
————————————————————————
=	0 0 0 0 0 0 1 1

x^(x-1) = （0000 0011）(二进制表示)	

x&(x^(x-1))

第三步
	x&(x^(x-1)) ：
	0 0 0 0 0 1 1 0
&	0 0 0 0 0 0 1 1
————————————————————————
= 0 0 0 0 0 0 1 0

综上三步所述，lowbit(6) = 2¹ = 2;

使用lowbit运算统计二进制数中1的个数

这个题是最近做到的一个题目，运用的技术就是使用lowbit运算：

public class NinthOne {

	public static void main(String[] args) {
		int result = NumberOf1(9);
		System.out.println(result);
	}
	
	 public static int NumberOf1(int n)
	 {
		 int result = 0;
		 while(n!=0) {
//			 两种方法求lowbit的值都可以：n&-n 或者  n&(n^(n-1))
//			 n = n - (n & -n);
			 n = n- (n & (n ^ (n - 1)));
			 result++;
		 }
		 
		 return result;
	 }
}

本小白技术有限，lowbit 在树状数组 等问题中也有很多应用，欢迎大佬可以指教，也欢迎小伙伴们可以一起探讨，一起加油！