HDU - 4388 Stone Game II

Posted 2021-06-29 吃花椒的妙酱

题目大意：n个石子堆，二人轮流取石子，每次可以从堆中取走k(1<k<n且k^x<x)个石子，然后加入一个新堆k^x个石子，有一个技能可以加入(2k)^x个石子，不过一局只能用一次，问先手胜负

思路：每次操作将一个堆分为k和k^x（先不考虑技能），直到无法再分。我们去看x和k、k^x有什么关系。

众所周知，异或是不进位的加法,我们去观察的话要从每一位去入手。如果此时x二进制上某一位为0，那么x和k^x此时对应位为0,0或者1,1；如果x某一位为1，那么x和k^x为1,0或者0,1,，拓展到整个x,k,k^x上，则有x中1的数量的奇偶与k与k^x中1的数量和奇偶一样。

接下来我们去找必败态，什么时候x无法再继续分解了呢。当x中只有一个1时，此时无法分解了（k拿走了若干1，则被拿走的位在k^x中也必为1，而最高位也为1，不满足k^x<x）。如果1中数量大于1呢，从上面结论知道，1的奇偶性分解后不变，对于先手，如果此时1数量为偶，那肯定分为两个只含有一个1的数，此时为必胜态；如果此时1数量为奇，只能分为奇+偶 = 奇+必胜  = 必败态（奇数个最后转化成3个1情况）。

最后我们看下技能，现在我们肯定从位运算的角度来思考了，发现就是将k左移一位，还是满足异或的加减法规律的——1数量奇偶性不变，所以用了这技能也无事发生。= =

由此得出结论1数量为奇必败，为偶则必胜，求一下有多少个必胜态即可，奇数个则必胜，偶数个则必败（抵消了）。

#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <list>
#include <queue>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <deque>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define _for(i,a,b) for(int i=(a) ;i<=(b) ;i++)
#define _rep(i,a,b) for(int i=(a) ;i>=(b) ;i--)
#define scd(v) scanf("%d",&v)
#define scdd(a,b) scanf("%d %d",&a,&b)
#define endl "\\n"
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define pb push_back
#define all(v) v.begin(),v.end()
//#define int long long
#define mst(v,a) memset(v,a,sizeof(v))
const int N = 1e6+10;
const int MAXN = 1e7+10;
int n,m;
int get(int x)//x中有多少个1,一个1为必败态
//x为一个堆，一个堆最多可以分为一个P和N，统计所有PN个数即可
//而必败态至少大于等于必胜态个数
{
    int cnt=0;
    while( x )
    {
        cnt += (x&1);
        x>>=1;
    }
    return cnt;
}
signed main()
{
    //!!
//    freopen("data.txt","r",stdin);
    //!!
//    IOS;
    int T;
    int TT=0;
    scd(T);
    while( T-- )
    {
        scd(n);
        int cnt=0;
        _for(i,1,n)
        {
            int x;scd(x);
            if( get(x)%2==0 ) cnt ^=1;//必败态个数
        }
        if( !cnt ) printf("Case %d: No\\n",++TT);
        else printf("Case %d: Yes\\n",++TT);
    }
}