莫比乌斯变换及逆变换

Posted 2021-06-28 jpphy0

目录

• 定义
• 定理1
• • 证明
  • 常见的mobius变换
  • 例题
• 推论
• • 证明
  • 例题
• 定理2
• • 证明
  • • 充分性
    • 必要性

定义

数论函数 $f(n)、F(n)$，若
$$F(n)=\sum _{d|n}f(d)$$
则称$F(n)$是$f(n)$的Mobius变换，称$f(n)$是$F(n)$的Mobius逆变换。

定理1

设$f(n)$是给定的数论函数，$F(n)$是它的Mobius变换，且$n=p_1^{{\alpha }_1}\cdots p_r^{{\alpha }_r}$，那么

1. $F(n)=f(1)$，当$n>1$时，
   $$F(n)=\sum _{e_1=1}^{{\alpha }_1}\cdots \sum _{e_r=1}^{{\alpha }_r}f(p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r})$$
2. 若$f(n)$是积性函数，则$F(n)$也是积性函数，且当$n>1$时，
   $$F(n)=\prod _{i=1}^r\left(1+f(p_i)+\cdots +f(p_i^{{\alpha }_i})\right)=\prod _{p^{\alpha }|n}\left(1+f(p)+\cdots +f(p^{\alpha })\right)$$
3. 若$f(n)$是完全积性函数，则
   $$F(n)=\prod _{i=1}^r\left(1+f(p_i)+\cdots +f^{{\alpha }_i}(p_i)\right)=\prod _{p^{\alpha }|n}(1+f(p)+\cdots +f^{\alpha }(p))$$

证明

1. （略）
2. 因为$f(n)$是积性函数，因此$$F(n)=\sum _{e_1=1}^{{\alpha }_1}\cdots \sum _{e_r=1}^{{\alpha }_r}f(p_1^{e_1})\cdots f(p_r^{e_r})=\left\{\sum _{e_1=1}^{{\alpha }_1}f(p_1^{e_1})\right\}\cdots \{e_r$$