CF338D GCD Table（拓展中国剩余定理，细节处理，2900分）

Posted 2021-06-28 繁凡さん

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CF338D GCD Table（拓展中国剩余定理，细节处理，2900分）

Problem

有一张 $n\times m$ 的表格 $G$，第 $i$ 行第 $j$ 列的元素是 $G(i,j)=\gcd (i,j)$ 。给定一个长度为 $k$ 的序列 $a_i$ ，询问是否存在 $x,y$，满足 $\forall i,1\le i\le k,G(x,y+i-1)=\gcd (x,y+i-1)=a_i$ （即问是否有在表格范围内的解 $(x,y)$ ）。

数据范围：$1\le n,m\le 10^{12},1\le k\le 10^4,1\le a_i\le 10^{12}$

Solution

根据题意显然可以列出：

$$\{\begin{array}{rlr}\gcd (x,y+1-1)& =& a_1\\ \gcd (x,y+2-1)& =& a_2\\ \cdots & & \\ \gcd (x,y+k-1)& =& a_k\end{array}$$

我们知道 $\gcd (a,b)=c$，经典套路，显然有：$a=k_{1}c,b=k_{2}c,k_1\nmid k_2$

即：
$$a\mid c,b\mid c\Rightarrow x\mid a_i,y+i-1\mid a_i$$

即：

$$\begin{array}{rlr}& x\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_i& \\ & y\equiv (1-i)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_i& \end{array}$$

所以我们可以列出一个同余方程组：

$$\{\begin{array}{rlr}& y\equiv (1-1)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_1& \\ & y\equiv (1-2)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_2& \\ & \cdots & \\ & y\equiv (1-k)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_k& \end{array}$$

显然 $a_i$ 不一定是质数，所以我们直接使用拓展中国剩余定理求解即可，这样我们就可以求出一个合法的 $y$。

那么如何求出最小的（不容易越界）且合法的 $x$ 呢，显然 $x$ 可以整除所有的 $a_i$，那么满足条件的最小的 $x$ 显然是 lcm { a i } \\text{lcm}\\{ a_{i} \\} lcm{ai​}。

求出 $x,y$ 以后验证一下开头列出来的 $\gcd$ 是否完全相同，以及 $G(x,y+$

欧几里得（辗转相除gcd）扩欧（exgcd）中国剩余定理（crt）扩展中国剩余定理（excrt）简要介绍

[数论]拓展中国剩余定理

中国剩余定理（孙子定理）

学习拓展中国剩余定理小结

拓展中国剩余定理（exCRT）摘要