A - Max Sum Plus Plus

Posted 2021-06-28 佐鼬Jun

A - Max Sum Plus Plus

Now I think you have got an AC in Ignatius.L’s “Max Sum” problem. To be a brave ACMer, we always challenge ourselves to more difficult problems. Now you are faced with a more difficult problem.

Given a consecutive number sequence S1, S2, S3, S4 … Sx, … Sn (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ Sx ≤ 32767). We define a function sum(i, j) = Si + … + Sj (1 ≤ i ≤ j ≤ n).

Now given an integer m (m > 0), your task is to find m pairs of i and j which make sum(i1, j1) + sum(i2, j2) + sum(i3, j3) + … + sum(im, jm) maximal (ix ≤ iy ≤ jx or ix ≤ jy ≤ jx is not allowed).

But I`m lazy, I don’t want to write a special-judge module, so you don’t have to output m pairs of i and j, just output the maximal summation of sum(ix, jx)(1 ≤ x ≤ m) instead. ^_
Input
Each test case will begin with two integers m and n, followed by n integers S1, S2, S3 … Sn.
Process to the end of file.
Output
Output the maximal summation described above in one line.
Sample Input
1 3 1 2 3
2 6 -1 4 -2 3 -2 3
Sample Output
6
8
题意： 给n个数，选出m个子段（m个组），m个字段里的数必须是连续地，例如，$S1，S2，....Sk$,输出m个子段地最大和。
思路： 开个二维数组$f[i][j]$代表前$j$个数分成$i$组的最大和
此时要求$f[i][j]$，就要对第j个数进行决策，是否分到第i个组里。
$1.$把第$j$个数放进第i个组里，$f[i][j]=f[i][j-1]+a[j]$
$2.$不把第$j$个数放进第$i$个组里，而是自己开创一个新的组，也就是说前$k$个数(0<k<j)，成$i-1$组,第$j$个数自己开创一组，由于k有很多种情况，所以要取最大的情况，$f[i][j]=max(f[i-1][k])+a[j])$
综上所述， 动态转移方程
$f[i][j]=max(f[i][j-1]+a[j],max(f[i-1][k])+a[j])$

但是这个方程涉及三个参数，也就涉及三重循环，时间复杂度$O$(n³ $)$
需要降维，把二维降低成一维，做等效变化。
把$f[i][j]$变成$f[j]$,$f[i][j-1]$也是变成$f[j-1]$,$max(f[i-1][k])$就需要新开一个数组$Max[]$，来记录分成$i-1$组前$k$个数的最大值情况,
那么此时，方程就等效成了
$f[j]=max(f[j-1]+a[j],Max[j-1]+a[j])$
此时时间复杂就降下来了，$O(nm)$
注意： 这里说的前$i-1$个数，不代表前$i-1$个数全选，只是从$0$到$i-1$分成组后的最大值

int maxx;
        for(int i=1;i<=m;i++) {  //枚举分成几组
            maxx=-inf;
            for(int j=i;j<=n;j++) {  ///前j个数分成i组，至少需要i个数
                f[j]=max(f[j-1]+a[j],Max[j-1]+a[j]);
    //Max[j-1]代表的是分成i-1个组，前面j-1数选择情况的最大值,a[j]单独一组组成i组
    //f[j-1]代表j-1数分成i组的最大值，选上a[j]
                Max[j-1]=maxx;
     //因为maxx时j-1时，更新的，所以Max也要记录j-1时的
     //因为Max时先调用再更新，所以Max[j-1]每次调用的时候
     //都是调用的第i-1轮
                maxx=max(maxx,f[j]);
    //也是因为先吊用再更新，所以调用时的maxx其实上一次（j-1）的值
            }
       //每次循环完Max[]也就更新完了，方便下一轮（i+1轮）用
        }

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
#define inf 0x3f3f3f3f
int a[N];
int f[N];
int Max[N];
int main() {
    int m, n;
    while (~scanf("%d%d", &m, &n)) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", &a[i]);
        }
        memset(f, 0, sizeof(f));
        memset(Max, 0, sizeof(Max));
        int maxx;
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            maxx = -inf;
            for (int j = i; j <= n; j++) {
                f[j] = max(f[j - 1] + a[j], Max[j - 1] + a[j]);
                Max[j - 1] = maxx;
                maxx = max(maxx, f[j]);
            }
        }
         cout<<maxx<<endl;
    }
    return 0;
}

To be continued
如果你有任何建议或者批评和补充，请留言指出，不胜感激