[线段树 差分 区间转单点]区间最大公约数

Posted 2021-06-28 鱼竿钓鱼干

[线段树 差分]区间最大公约数

思路

操作1：区间[L,R]增加一个数
操作2：求区间最大公约数
$gcd(a[l],a[l+1],a[l+2]\dots \dots a[r])$

首先思考维护哪些信息

struct Node{
	int l,r;
	LL g;//gcd
}

只是查询的话已经够了，接下来思考修改怎么办。
如果是做区间修改的话很麻烦，我们可以利用差分把区间修改转为单点修改。
$(x,y,z)=(x,y-x,z-y)$
$(a_1,a_2,\dots \dots a_n)=(a_1,a_2-a_1,a_3-a_2,\dots \dots a_n-a_{n-1})$
$gcd(a[l],a[l+1],\dots \dots a[r])=gcd(a[l],b[l+1],b[l+2],b[r])$
所以我们输入a[n]后弄出差分序列b[n]
问题变成了对于差分序列b[n]进行如下操作
操作1：$b[l]+d,b[r+1]-d$
操作2：求$[l,r]$最大公约数
$gcd(a[l],gcd(b[l+1],\dots \dots b[r]))$
可以发现a[l]也就是b数组的前缀和所以我们还要维护一个sum

struct Node{
	int l,r;
	LL g;//gcd
	LL sum;//sum
}

区间查询的答案就是$ans=abs(gcd(su{m}_{[1,l]},gc{d}_{[l+1,r]}))$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=5e5+10;
int n,m;
LL a[N],b[N];
struct Node{
    int l,r;
    LL g;
    LL sum;
}tr[N*4];
/*维护更新信息*/
void pushup(Node &u,Node &l,Node &r){
    u.g=__gcd(l.g,r.g);
    u.sum=l.sum+r.sum;
}

void pushup(int u){
    pushup(tr[u],tr[u<<1],tr[u<<1|1]);
}

void build(int u,int l,int r){
    if(l==r)tr[u]={l,r,b[r],b[r]};//叶子节点
    else{
        tr[u]={l,r};//别忘记
        int mid=(l+r)>>1;
        build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r);//递归左右区间
        pushup(u);
    }
}

void modify(int u,int x,LL v){
    if(tr[u].l==x&&tr[u].r==x)tr[u]={x,x,tr[u].sum+v,tr[u].sum+v};//叶子节点
    else{
        int mid=(tr[u].l+tr[u].r)>>1;
        if(x<=mid)modify(u<<1,x,v);
        else modify(u<<1|1,x,v);
        pushup(u);
    }
}
/*因为查询也有很多信息要合并所以直接传结构体方便些*/
Node query(int u,int l,int r){
    if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r)return tr[u];//区间被包含
    else{
        int mid=(tr[u].l+tr[u].r)>>1;
        if(r<=mid)return query(u<<1,l,r);
        else if(l>mid)return query(u<<1|1,l,r);
        else{
            auto left=query(u<<1,l,r);
            auto right=query(u<<1|1,l,r);
            Node res;
            pushup(res,left,right);//合并左右子区间答案
            return res;
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=a[i]-a[i-1];
    build(1,1,n);
    
    int l,r;LL d;
    char op[2];
    while(m--){
        scanf("%s%d%d",op,&l,&r);
        if(*op=='Q'){
            auto left=query(1,1,l);
            Node right({0,0,0,0});
            if(l+1<=r)right=query(1,l+1,r);
            printf("%lld\\n",abs(gcd(left.sum,right.g)));
        }
        else{
            scanf("%lld",&d);
            modify(1,l,d);
            if(r+1<=n)modify(1,r+1,-d);
        }
    }
    return 0;
}