稳健估计的可靠性分析
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了稳健估计的可靠性分析相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
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参考文献： Robust estimation in very small samples
本文将用 SEIF（Styled Empirical Influence Function）和 Breakdown Value 评估各种，对均值、方差的平方根的稳健估计方法的可靠性。
前提
本篇博客主要讨论两个估计量：
- 均值（ μ \\mu μ），我们用样本去估计，记为 T n ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T_n(x_1,x_2,\\cdots,x_n) Tn(x1,x2,⋯,xn)，简记为 T n ( X ) T_n(X) Tn(X)
- 方差的平方根（
σ
\\sigma
σ），我们用样本去估计，记为
S
n
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
S_n(x_1,x_2,\\cdots,x_n)
Sn(x1,x2,⋯,xn)，简记为
S
n
(
X
)
S_n(X)
Sn(X)
其中 n n n 为样本容量，当然，在计算 S n S_n Sn 和 T n T_n Tn 的时候， μ , σ \\mu, \\sigma μ,σ 都是未知的。
我们讨论的稳健估计必须满足下述条件：
T
n
(
a
X
+
b
)
=
a
T
n
(
X
)
+
b
S
n
(
a
X
+
b
)
=
∣
a
∣
S
n
(
X
)
\\begin{array}{l} T_{n}(a X+b)=a T_{n}(X)+b \\\\ S_{n}(a X+b)=|a| S_{n}(X) \\end{array}
Tn(aX+b)=aTn(X)+bSn(aX+b)=∣a∣Sn(X)
且
X
∼
i
.
i
.
d
X\\sim i.i.d
X∼i.i.d
另外，为了方便了理解，我们定义样本 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\\cdots, x_{n} x1,x2,⋯,xn 的次序统计量为： x 1 : n , x 2 : n , ⋯ , x n − 1 : n , x n : n x_{1:n},x_{2:n},\\cdots, x_{n-1:n},x_{n:n} x1:n,x2:n,⋯,xn−1:n,xn:n
传统稳健方法评估
评估方法
我们用 SEIF 来评估稳健估计方法，其中 EIF 的定义如下：
EIF
(
x
)
=
T
n
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
−
1
,
x
)
\\textbf{EIF}(x) = T_n(x_1,x_2,\\cdots, x_{n-1}, x)
EIF(x)=Tn(x1,x2,⋯,xn−1,x)
其中
x
x
x 是未知数，
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
−
1
x_1,x_2,\\cdots, x_{n-1}
x1,x2,⋯,xn−1 是容量为
n
−
1
n-1
n−1 的样本。EIF 的估计原理是，
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
−
1
x_1,x_2,\\cdots, x_{n-1}
x1,x2,⋯,xn−1 是正常样本，不包含离群值，而
x
x
x 作为自变量，可以模拟离群值和非离群值，于是，就可以根据 EIF 和 x 的关系，或变化曲线，来判断稳健估计方法的效果。
但这个正常样本 x 1 , x 2 , ⋯ , x n − 1 x_1,x_2,\\cdots, x_{n-1} x1,x2,⋯,xn−1 该如何取呢？根据 T n ( a X + b ) = a T n ( X ) + b T_{n}(a X+b)=a T_{n}(X)+b Tn(aX+b)=aTn(X)+b 和 S n ( a X + b ) = ∣ a ∣ S n ( X ) S_{n}(a X+b)=|a| S_{n}(X) Sn(aX+b)=∣a∣Sn(X)，我们可以用正态分布来代表所有类型的样本。
对于
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
−
1
x_1,x_2,\\cdots, x_{n-1}
x1,x2,⋯,xn−1 ，我们可以取正态分布的
m
m
m 分位数：
x
i
=
Φ
−
1
(
i
−
1
/
3
m
+
1
/
3
)
for
i
=
1
,
…
,
m
x_{i}=\\Phi^{-1}\\left(\\frac{i-1 / 3}{m+1 / 3}\\right) \\quad \\text { for } i=1, \\ldots, m
xi=Φ−1(m+1/3i−1/3) for i=1,…,m
其中
m
=
n
−
1
m=n-1
m=n−1。
于是，我们将样本 x 1 , x 2 , ⋯ , x n − 1 x_1,x_2,\\cdots, x_{n-1} x1,x2,⋯,x以上是关于稳健估计的可靠性分析的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章