CodeForces - 1485E Move and Swap(树形dp)

Posted 2021-06-27 Frozen_Guardian

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题目大意：给出一棵有根树，每个节点都有权值，满足所有叶子结点到根节点的距离相同，初始时在根节点有两个硬币，分别是红色和蓝色，每次可以执行如下操作：

1. 将红色硬币移动到任意一个子节点
2. 将蓝色硬币移动到下一层的任意一个节点
3. （可选）交换红色硬币和蓝色硬币
4. 本次操作的贡献是红色硬币和蓝色硬币点权之差的绝对值

问如何移动可以使得贡献之和最大

题目分析：不算难的一道树形 $dp$，因为蓝色硬币可以是下一层的任意节点，所以只需要关注红色硬币移动的路线就可以了，不妨设 $d{p}_i$ 为红色硬币在点 $i$ 时移动到叶子结点的最大贡献和，选择自底向上转移，这样就将原树中的节点划分成不同层次之间的转移了。

分成两种情况讨论：

1. 不交换硬币：那么 $d{p}_u=d{p}_v+|a_v-a_m|$，因为不交换的话，红色硬币下一步一定到达点 $u$ 的子节点 $v$，而 $m$ 是蓝色节点的位置，我们可以选择同层中任意节点来充当
2. 交换硬币：那么 $d{p}_u=d{p}_m+|a_v-a_m|$，类比于上面的情况，蓝色节点一定是 $v$ 了，而同层的任意一个节点可以充当红色节点

乍一看转移的复杂度不是很可观，但是这些东西是可以预处理的，第一种情况我们只需要维护一下 $a_m$ 的最小值和最大值辅助转移即可，第二种情况需要预处理一下 $d{p}_m-a_m$ 和 $d{p}_m+a_m$ 的最大值辅助转移就好啦

代码：

// Problem: E. Move and Swap
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #701 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1485/problem/E
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const LL inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
int fa[N],max_deep;
LL dp[N],a[N];
vector<int>node[N],d[N];
void dfs(int u,int f,int dep) {
	max_deep=max(max_deep,dep);
	fa[u]=f;
	d[dep].push_back(u);
	for(auto v:node[u]) {
		dfs(v,u,dep+1);
	}
}
void init(int n) {
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		node[i].clear();
		d[i].clear();
	}
	memset(dp,0,sizeof(LL)*(n+5));
	max_deep=0;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int w;
	cin>>w;
	while(w--) {
		int n;
		read(n);
		init(n);
		for(int i=2;i<=n;i++) {
			int fa;
			read(fa);
			node[fa].push_back(i);
		}
		for(int i=2;i<=n;i++) {
			read(a[i]);
		}
		dfs(1,-1,1);
		for(int i=max_deep;i>1;i--) {
			//不交换
			LL mmax=-inf,mmin=inf;
			for(auto u:d[i]) {
				mmax=max(mmax,a[u]);
				mmin=min(mmin,a[u]);
			}
			for(auto u:d[i]) {
				dp[fa[u]]=max(dp[fa[u]],dp[u]+max(llabs(a[u]-mmax),llabs(a[u]-mmin)));
			}
			//交换
			LL mmax1=-inf,mmax2=-inf;
			for(auto u:d[i]) {
				mmax1=max(mmax1,dp[u]+a[u]);
				mmax2=max(mmax2,dp[u]-a[u]);
			}
			for(auto u:d[i]) {
				dp[fa[u]]=max(dp[fa[u]],mmax1-a[u]);
				dp[fa[u]]=max(dp[fa[u]],mmax2+a[u]);
			}
		}
		cout<<dp[1]<<endl;
	}
	return 0;
}