CodeForces - 1485F Copy or Prefix Sum(dp)

Posted 2021-06-27 Frozen_Guardian

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题目大意：给出数组 $b$，问可以构造出多少种满足条件的数组 $a$，规定数组 $a$ 和数组 $b$ 的关系如下：

1. $b_i=a_i$ or
2. $b_i={\sum }_{j=1}^i{a}_j$

题目分析：乍一看是个计数问题，因为对于每个位置，$a_i$ 都有两种选择，所以答案将会是 $2^n$ 级别的，但是有些时候会重复计数，观察当 $({\sum }_{j=1}^{i-1}{a}_j)=0$ 时，$a_i$ 有且仅有一种选择，那就是等于 $b_i$ 了

所以先设计一个 $n^2$ 级别的 $dp$，$d{p}_{i,j}$ 代表到了第 $i$ 个位置，前缀和为 $j$ 时的方案数，转移的话也是比较简单，可以分别从上面两种情况进行转移：

1. $b_i=a_i$，$dp[i][j]=dp[i-1][j-b_i]$
2. $b_i={\sum }_{j=1}^i{a}_j$，$dp[i][b_i]=(\sum dp[i-1][j])-dp[i-1][0]$

注意上面第二种情况减去的 $dp[i-1][0]$ 就是去掉 $sum=0$ 的方案数

考虑其实很多转移都是无用的，也就是统一偏移了固定的单位，所以我们可以参考 “水平线优化dp” 的博客：https://codeforces.com/blog/entry/58316

维护一个偏移量辅助转移，这样第一种情况就可以直接 $O(1)$ 维护了，而对于第二种情况，也只是需要单独查一下 $dp[i-1][0]$ 这一项，剩下的将 $dp$ 数组滚动一下就可以了

代码：

// Problem: F. Copy or Prefix Sum
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #701 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1485/problem/F
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
const int mod=1e9+7;
map<LL,LL>mp;
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int w;
	cin>>w;
	while(w--) {
		mp.clear();
		int n;
		read(n);
		LL delta=0,ans=1;
		mp[0]=1;
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			int x;
			read(x);
			LL temp=(ans-mp[-delta]+mod)%mod;
			mp[-delta]=(mp[-delta]+temp)%mod;
			delta+=x;
			ans=(ans+temp)%mod;
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}