Max Sum Plus Plus-HDU 1024(思考：前缀模型优化，延迟更新)

Posted 2021-06-27 偶尔爆零的蒟蒻

最大m子段和

二维空间不够
前缀模型优化，延迟更新

$dp[i][j]$到第$j$个数，组成$i$段时的最大和
d p [ i ] [ j ] = m a x ( d p [ i ] [ j − 1 ] , m a x { d p [ i − 1 ] [ k − 1 ] } + a [ j ]       ( i < = k < = j ) ) dp[i][j]=max(dp[i][j-1],max\\{dp[i-1][k-1]\\}+a[j] \\ \\ \\ \\ \\ (i<=k<=j)) dp[i][j]=max(dp[i][j−1],max{dp[i−1][k−1]}+a[j]     (i<=k<=j))
$dp[j]=max(dp[j-1],pre[j-1])+a[j]$

		int tmp;
        for(int i = 1 ; i <= m ; i++)//段
        {
            for(int j = i ; j <= n ; j++)//开始位置
            {
            	tmp=-inf;
                for(int k=i-1 ; k <= j-1 ; k++){
                    tmp=max(tmp , dp[i-1][k]);
                }
                dp[i][j] = max(dp[i][j-1] , tmp) + a[j];
            }
        }
        cout<< dp[m][n] <<endl;

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define inf 0x3f3f3f3f
const int maxn = 1e6+5;

int dp[maxn] , pre[maxn] , a[maxn];
int n , m;
int main()
{
    while(cin >> m >> n)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(pre,0,sizeof(pre));
        for(int i = 1 ; i <=n ; i++)
        {
            scanf("%d" , &a[i]);
        }
        int tmp;
        for(int i = 1 ; i <= m ; i++)//段
        {
            tmp = -inf;//a[1~n]有负数，为了取每段最大值
            for(int j = i ; j <= n ; j++)//开始位置
            {
                dp[j] = max(dp[j-1],pre[j-1])+a[j];//简化状态转移方程
                /*
                状态转移方程好理解
                主要说下更新次序问题
                pre原先是max{dp[i-1][j-1]}j>=i
                也就是前i-1段的最大和值
                这里涉及一个前缀最大和值如何更新
                见第一个写法
                它是先循环取最大，再dp更新，dp在后的
                多了时间复杂度

                这种情况符合前缀模型，所以可以少一层循环减少复杂度
                这时dp在前，后面更新pre,再更新tmp结果，每层i循环tmp赋最小值，为了取本轮最大值

                注意到下标为j时，使用的是pre[j-1]，更新的也是pre[j-1]
                分析：本次i层循环，j次循环，先使用pre[j-1]，然后更新的pre[j-1]，当j+1次时，使用pre[j]，但pre[j]并未更新，即每次都是使用前一个，更新前一个
                作用：实际上每次i层循环都是使用i-1次循环时更新的pre[j-1]来更新的dp，
                可理解为延迟更新一层i循环，达到得到max{dp[i-1][j-1]}j>=i，也就是前i-1段的最大和值

                如果pre先于dp更新，当前j次循环时，导致使用了当前i层的值，不符合状态转移方程的含义
                如果写成更新pre[j]，则当j+1次循环时，要使用pre[j]，也导致了使用当前i层的值
                最后tmp不断比较当前dp[i][j]最大值，为了下一次j+1次循环更新pre

                算是逻辑自洽的解释
                以后如果时间复杂度高，如果发现有类似的前缀模型，就可以用这种思想优化
                */
                pre[j-1] = tmp;
                tmp = max(dp[j] , tmp);
            }
        }
        cout << tmp <<endl;
    }

}