以MATLAB的方式实现微积分问题的计算机求解问题及解决方案集锦

Posted 2021-06-27 文宇肃然

前言

 

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微积分问题的计算机求解系列 (0001)

试求出以下的曲线积分。

 

【解】    

套用第一类和第二类曲线积分公式，可以直接得出曲线积分的结果。

 

• 需要注意的是：使用Maple内核的matlab与Mupad内核的matlab进行符号计算的结果可能表达形式是不一样。

   

• 个人觉得Maple的符号计算更靠谱、更强大。

 

>> syms a t; 

x=a*(cos(t)+t*sin(t)); 

y=a*(sin(t)-t*cos(t)); 

f=x^2+y^2;  

I=int(f*sqrt(diff(x,t)^2+diff(y,t)^2),t,0,2*pi)

 

I =

 

2*pi^2*(2*pi^2 + 1)*(a^2)^(3/2)

 

>>  syms x y a b c t; 

x=c*cos(t)/a; 

y=c*sin(t)/b; 

P=y*x^3+exp(y); 

Q=x*y^3+x*exp(y)-2*y; 

ds=[diff(x,t);diff(y,t)];  

I=int([P Q]*ds,t,0,pi)

 

I =

 

-(2*c*(15*b^4 - 2*c^4))/(15*a*b^4)

 

>> syms t; 

syms a positive; 

x=exp(t); 

y=exp(-t); 

z=a*t; 

F=[y, -x, (x^2+y^2)]; 

ds=[diff(x,t);diff(y,t);diff(z,t)]; 

I=int(F*ds,t,0,1)

 

I =

 

(a*exp(2))/2 - (a*exp(-2))/2 + 2

 

>> syms t m; syms a positive;

x1=t; y1=0;

F1=[exp(x1)*sin(y1)-m*y1, exp(x1)*cos(y1)-m];

x2=a/2+a/2*cos(t); y2=a/2*sin(t);

F2=[exp(x2)*sin(y2)-m*y2, exp(x2)*cos(y2)-m];

I1=int(F1*[diff(x1,t);diff(y1,t)],t,0,a)

I2=int(F2*[diff(x2,t);diff(y2,t)],t,0,pi);

 

>> I=I1+I2 

 

I =

 

(pi*a^2*m)/8

微积分问题的计算机求解系列 (0002)

问题：

求出下面函数的导数。

 

 

解答：

由求导函数 diff() 可以直接得出如下结果，其中 ③ 为隐函数，故需要用隐函数求 导公式得出导数。

 

>> syms x;

f=sqrt(x*sin(x)*sqrt(1-exp(x)));    simple(diff(f)) ans =

1/2/(x*sin(x)*(1-exp(x))^(1/2))^(1/2)*(sin(x)*(1-exp(x))^(1/2)+

x*cos(x)*(1-exp(x))^(1/2)-1/2*x*sin(x)/(1-exp(x))^(1/2)*exp(x))

 

>>  syms  a x

y=(1-sqrt(cos(a*x)))/(x*(1-cos(sqrt(a*x)))) simple(diff(y))

ans  =

1/2/cos(a*x)^(1/2)*sin(a*x)*a/x/(1-cos((a*x)^(1/2)))-

(1-cos(a*x)^(1/2))/x^2/(1-cos((a*x)^(1/2)))-1/2*(1-cos(a*x)^(1/2))

/x/(1-cos((a*x)^(1/2)))^2*sin((a*x)^(1/2))/(a*x)^(1/2)*a

 

>> f=atan(y/x)-log(x^2+y^2); f1=simple(-diff(f,x)/diff(f,y))

 

f1 =

(y+2*x)/(x-2*y)

 

>> syms n positive; syms a; 

f=-log((x^n+a)/x^n)/(n*a); diff(f,x) ans =

-(n/x-(x^n+a)/(x^n)*n/x)/(x^n+a)*x^n/n/a

 

 

用 LATEX  表示上面的结果，则

 

 

 

拓展：

>> help latex

--- help for sym/latex ---

 

latex  LaTeX representation of a symbolic expression.

latex(S) returns the LaTeX representation of the symbolic expression S.

 

Examples:

syms x

f = taylor(log(1+x));

latex(f) =

          \\frac{x^5}{5} - \\frac{x^4}{4} + \\frac{x^3}{3} - \\frac{x^2}{2} + x

 

H = sym(hilb(3));

latex(H) =

         \\left(\\begin{array}{ccc} 1 & \\frac{1}{2} & \\frac{1}{3}\\\\ 

         \\frac{1}{2} & \\frac{1}{3} & \\frac{1}{4}\\\\ \\frac{1}{3} & 

         \\frac{1}{4} & \\frac{1}{5} \\end{array}\\right)

      

syms alpha t

A = [alpha t alpha*t];

 

latex(A) =

         \\left(\\begin{array}{ccc} \\mathrm{alpha} & t & \\mathrm{alpha}\\,

         t \\end{array}\\right)

 

See also sym/mathml, sym/texlabel.

微积分问题的计算机求解系列 (0003)

问题：

 

 

 

解答：

高阶导数可以由下面语句直接得出

 

>>  syms  a x

f=sqrt((x-1)*(x-2)/(x-3)/(x-4));      

simple(diff(f,x,4)) 

 

ans =

 

3*(16*x^11-392*x^10+4312*x^9-28140*x^8+121344*x^7-

364560*x^6+783552*x^5-1214604*x^4+1342560*x^3-1015348*x^2+

474596*x-103741)/((x-1)*(x-2)/(x-3)/(x-4))^(7/2)/(x-3)^8/(x-4)^8

 

 

拓展：

在高等数学中，求解分子和分母均同时为 0 或 ∞ 时，分式极限时可使用 L’Hˆopital 法则，即对分子分母分别求导数，再由比值极限计算得出，试用该法则求解：

 

 

并和直接求出的极限结果相比较。

 

从给出的分母看，若想使之在 x = 0 处的值不为 0，则应该对其求 4 阶导数，同样， 还应该对分子求 4 阶导数，将 x = 0 代入结果，这样就可以使用 L’Hˆopital 法则求出极限了。

 

>> syms x; 

n=log(1+x)*log(1-x)-log(1-x^2); 

d=x^4; 

n4=diff(n,x,4); 

d4=diff(d,x,4); 

n4=subs(n4,x,0); 

L=n4/d4

L  = 1/12

 

现在直接求极限可以验证上述结果是正确的。

 

>> limit(n/d,x,0) ans =

1/12

微积分问题的计算机求解系列 (0004)

问题：

 

 

解答：

参数方程的导数可以由下面语句直接求出。

 

>> syms t; 

x=log(cos(t)); 

y=cos(t)-t*sin(t); 

diff(y,t)/diff(x,t)

 

ans  =

-(-2*sin(t)-t*cos(t))/sin(t)*cos(t)

 

>> f=diff(y,t,2)/diff(x,t,2); 

subs(f,t,sym(pi)/3) 

 

ans =

3/8-1/24*pi*3^(1/2)

 

 

拓展1：

 

证明二者相等亦可以由二者之差为零来证明，故由下面的语句直接证明。

 

>> syms x y; 

u=acos(x/y); 

diff(diff(u,x),y)-diff(diff(u,y),x)

 

ans  =

 

0

 

 

拓展2：

用下面的语句可以直接得出如下结果。

 

>> syms x y u v 

[u,v]=solve(’x*u+y*v=0’,’y*u+x*v=1’,’u,v’); 

diff(diff(u,x),y)

 

ans  =

2/(x^2-y^2)^2*x+8*y^2/(x^2-y^2)^3*x

 

 

 

拓展3：

由下面的命令可以得出所需结果。

 

>> syms x y   t

f=int(exp(-t^2),t,0,x*y);

x/y*diff(f,x,2)-2*diff(diff(f,x),y)+diff(f,y,2) simple(ans)

ans  =

-2*exp(-x^2*y^2)*(-x^2*y^2+1+x^3*y)

 

 

拓展4：

 

Jacobi 矩阵可以由下面的语句直接得出。

 

>> syms x y z

F=[3*x+exp(y)*z; x^3+y^2*sin(z)]; 

jacobian(F,[x,y,z])

 

ans  =

[ 3, exp(y)*z, exp(y)] 

[ 3*x^2, 2*y*sin(z), y^2*cos(z)]

微积分问题的计算机求解系列 (0005)

问题：

 

 

 

解答：

① 该不定积分可以由下面的命令直接求出

 

>>  syms  x a

f=(3*x^2+a)/(x^2+(x^2+a)^2); int(f,x) ans =

12/(4+16*a)/(2+4*a+2*(1+4*a)^(1/2))^(1/2)* 

atan(2*x/(2+4*a+2*(1+4*a)^(1/2))^(1/2))+

48/(4+16*a)/(2+4*a+2*(1+4*a)^(1/2))^(1/2)* 

atan(2*x/(2+4*a+2*(1+4*a)^(1/2))^(1/2))*a+

12/(4+16*a)/(2+4*a+2*(1+4*a)^(1/2))^(1/2)* 

atan(2*x/(2+4*a+2*(1+4*a)^(1/2))^(1/2))*(1+4*a)^(1/2)+

16/(4+16*a)/(2+4*a+2*(1+4*a)^(1/2))^(1/2)* 

atan(2*x/(2+4*a+2*(1+4*a)^(1/2))^(1/2))*(1+4*a)^(1/2)*a+

12/(4+16*a)/(2+4*a-2*(1+4*a)^(1/2))^(1/2)* 

atan(2*x/(2+4*a-2*(1+4*a)^(1/2))^(1/2))+

48/(4+16*a)/(2+4*a-2*(1+4*a)^(1/2))^(1/2)* 

atan(2*x/(2+4*a-2*(1+4*a)^(1/2))^(1/2))*a-

12/(4+16*a)/(2+4*a-2*(1+4*a)^(1/2))^(1/2)*

atan(2*x/(2+4*a-2*(1+4*a)^(1/2))^(1/2))*(1+4*a)^(1/2)- 16/(4+16*a)/(2+4*a-2*(1+4*a)^(1/2))^(1/2)*

atan(2*x/(2+4*a-2*(1+4*a)^(1/2))^(1/2))*(1+4*a)^(1/2)*a

 

② 可以用下面的语句求出问题的解

 

>> syms x; f=sqrt(x*(x+1))/(sqrt(x)+sqrt(x+1)); 

int(f,x);   

latex(ans)

 

并将其显示如下：

 

 

③ 可以求出下面的结果

 

>>  syms  a  b x

f=x*exp(a*x)*cos(b*x); 

int(f,x); 

latex(ans)

 

其数学显示为

 

 

④ 用下面的语句求解，得

 

>> syms x a b c; f=exp(a*x)*sin(b*x)*sin(c*x); latex(int(f,x))

 

亦即