预算分配Budget Allocation：两篇论文

Posted 2021-06-27 悟乙己

1 达摩院：A Unified Framework for Marketing Budget Allocation

A Unified Framework for Marketing Budget Allocation
参考解读文章：A Unified Framework for Marketing Budget Allocation

预算分配核心是解决该把钱投在哪的问题，本篇文章意在提出一种做预算分配的通用框架，包括两个步骤，

• 预测模型，通过历史数据去学习需求曲线，也可称为市场响应模型（market response model）
• 优化分配最优解，基于模型进行优化预算分配

学习需求曲线 -> 预算来预测每个组的销量变化情况

问题：尽管一些黑盒的预测方法，如深度学习，已经广泛应用于一些预测问题，但是这样预测和制定决策之间还有很大的gap，其中一个重要的问题就是很难将黑盒的预测结果转化成分配决策。

1.1 通用预算分配框架

这篇paper总结的蛮给力的，一个预算分配的通用框架，包括两个步骤，

• 首先通过历史数据去学习需求曲线，也可称为市场响应模型（market response model）
• 然后基于模型进行优化预算分配
  
  整个市场可以根据不同的商品、客户、消费习惯等维度分为多个组（定价歧视的分组，segment），为了将预算分配给各个组，我们需要根据每个组的预算来预测每个组的销量变化情况。
  尽管一些黑盒的预测方法，如深度学习，已经广泛应用于一些预测问题，但是这样预测和制定决策之间还有很大的gap，其中一个重要的问题就是很难将黑盒的预测结果转化成分配决策。
  相反，如logit demand curve有明确的表达形式，并且广泛应用于经济学之中，它的缺点则是智能对于每一个市场分组来拟合，并不能利用不同分组下的通用的信息，这会造成很严重的数据分离的问题，因此文中提出一种半黑盒的预测模型，用神经网络来扩展logit demand curve的能力。

预测模型的输入被分成两部分：独立的变量和环境变量（上下文变量）。
环境变量是市场本身的属性，比如商品品牌、顾客属性、消费时间等等。

同时可以证明market cost（市场对于价格最敏感的点）只跟bias parameter有关，所以可以用相同的神经网络来计算不同segment的bias parameter，而弹性参数可以在拟合数据的时候求出，这样销量和花费的变动关系可以有一个显示的表示。

一旦需求曲线确定了，预算分配则可以表示成一个优化问题。
用$N$表示segment数量，预算分配需要优化$N$个变量，在一定预算约束下最大化销量。由于logit demand cruve是非凸的，所以优化问题也是非凸的，文中提出一种办法可以将该问题转化成等价的凸问题。

同时，这个框架可以兼容多种业务约束，包括花费上限、利润下限、或者roi下限。
因为有时候价格需要以$99$结尾，比如$19.99$，所以有时候变量需要从一个固定的集合取值，本框架也支持对于离散问题的优化求解，可以将该问题转化成一个多选择的背包问题（MCKP，Multiple Choice Knapsack Problem），近似在O(N)的时间复杂度下求解。

1.2 两种市场响应模型

1.2.1 比较常规的：Logit Response Model

这个是蛮典型的增长曲线，随着cost增加，一开始sales增长迅速，后续会到达一个瓶颈。
其中，market cost 指的是一个效率最佳的临界点

1.2.2 Semi-black-box Model

(本节没有细究，有些还没看明白…)
logit对于数据的使用能力有限，当我们对于每个segment都学习出一个$ai$和$bi$，并没有使用segment之间相同的数据，所以认为此处的c为独立变量，环境变量用xi表示，环境变量对于所有segment是通用的，并不会因为segment不同而改变（此处指的应该是有控制的改变，如对于某个segment人为改变花费，而环境变量contextual variables并不能控制），传统的神经网络可以将$xi$和$c$都作为输入，而logit只能利用$c$作为输入。
相比于直接预测最终的销量，我们用神经网络$e(xi)$来估计market cost处的的弹性，基于$e(xi)$，弹性的信息可以在不同segment间共享，传统的logit model可以扩展成

1.3 优化预算分配

对于N个segments，预算分配需要决定每个segment的花费$ci$，用$c:=[c1,\cdots ,cN]$，我们的目标是找到一个最优的c在预算约束下来最大化总销量，

其中B表示预算上限，它既可以为正也可以为负，正的表示花费上限约束，负的表示利润下限约束。

一般来看，可以作为线性规划的来求解，这里论文也提及用可以将该问题转化成一个多选择的背包问题（MCKP，Multiple Choice Knapsack Problem），近似在$O(N)$的时间复杂度下求解。

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2 达摩院——MindOpt 优化求解器

文档：
https://solver.damo.alibaba-inc.com/doc/html/testing/compile-python.html

阿里云界面达摩院：
https://tianchi.aliyun.com/mindopt

申请列表：
https://solver.damo.alibaba.com/htmlpages/page#/

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3 背包问题

3.1 线性规划

具体可参考：最优解问题——PuLP解决线性规划问题（一）

3.2 背包问题

大概一个案例来理解：

一个小偷面前有一堆（n个）财宝，每个财宝有重量w和价值v两种属性，而他的背包只能携带一定重量的财宝（Capacity），在已知所有财宝的重量和价值的情况下，如何选取财宝，可以最大限度的利用当前的背包容量，取得最大价值的财宝（或求出能够获取财宝价值的最大值）。

一般来讲，背包问题有以下几种分类：

• 01背包问题
• 完全背包问题
• 多重背包问题

例如恰好装满、求方案总数、求所有的方案等。本文接下来就分别讨论一下这些问题。

核心概念：
给定一组物品，每种物品都有自己的体积和价值，在限定的总体积内，我们如何选择，才能使得物品的总价值最高。

背包问题简要的分为以下3种，还有一些都是这3种的变形以及组合。

• 01背包:
  即限定每个物品要么拿（1个）要么不拿（0个）。

• 多重（有界）背包问题 - 多选择背包问题:
  如果限定物品i最多只能拿m[i]个，则问题称为有界或多重背包问题。

• 完全（无界）背包问题
  如果不限定每种物品的数量，同一样物品想拿多少拿多少，则问题称为无界或完全背包问题。

• 多维背包问题
  或者多背包问题，它是带有一组约束（重量 尺寸 可靠性等）的背包问题。该问题可以简单描述为n个物品要放入m个称重不同的背包，他与0-1背包问题不同的是，物品放入不同背包的重量是不同的。
  显然，在多约束背包的问题中，除了确定每个物品是否被放入背包之外，还需要确定他需要放入哪个背包。

• 动态背包问题
  动态两个字的意思是，价值和重量都不是固定的，v ~ f(x) , weight ~ f(y)这样类型的

额外：
要求2：填满背包背包问题还有另一种要求，即如何选取物品将容量为 C 的背包恰好填满（可能不存在）。

几篇参考文献：
四种方法解0-1背包问题-基于python
01背包、多选择背包、完全背包与动态规划解法

3.3 贪心算法

选取当前状态下最好/最优的选择（局部最有利的选择），并以此希望最后堆叠出的结果也是最好/最优的解

事例一：找零钱问题
假设你开了间小店，不能电子支付，钱柜里的货币只有 25 分、10 分、5 分和 1 分四种硬币，如果你是售货员且要找给客户 41 分钱的硬币，如何安排才能找给客人的钱既正确且硬币的个数又最少？

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4 论文：阿里妈妈：基于动态背包的多场景广告序列投放算法

https://www.infoq.cn/article/BVzcxT1UMqVJ0vY0GYH4
阿里妈妈：基于动态背包的多场景广告序列投放算法

4.1 序列投放的长期价值

假设消费者和广告存在两次接触，
第一次接触时，其转化的期望低于其它流量转化的平均期望，而如果在接触一次后再发生第二次接触，由于消费者心智累积效应，
其第二次接触后转化的期望显著升高，使得两次接触的整体转化期望高于其它流量转化的平均期望

序列投放算法和单次投放算法做出不同决策的核心原因在于：
第一次接触前，单次投放算法只评估了单次请求的价值，即短期价值，
而序列投放算法评估了未来多次请求的整体价值，我们称为长期价值。

将预算约束问题建模为背包问题：

• 背包中物品的价值为<用户,ad>形成的序列价值 ( 长期成交、收藏加购等 )，
• 物品的重量为此序列中发生的成本 ( 消耗 )；

我们按照性价比 ( 序列价值/成本 ) 由高到低逐个选择物品，直到选出的物品总消耗刚好不超过预算约束。

• 物品重量：由于物品重量远小于背包容量，按性价比排序的贪心算法能够接近最优解。
• **物体价值：**然而，每个序列的价值和成本与运营该序列的广告策略有关，因此这是一个动态背包问题。

为求解此动态背包，我们采用双层优化问题的解法来迭代求解：
物品的贪心挑选物品价值/成本以及对应策略的优化

4.2 背包问题

物体：每次接触当作物品
重量 - 成本损耗，max（预算） = B - Ct
体积 -
价值 - 成交价值 Vt

多物体： U个人

目标函数：价值最大
约束条件：成本损耗 < B