单因素方差分析与均匀性检验

Posted 2021-06-26 zhuo木鸟

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• 单因子方差分析
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ANOVA 均匀性检验代码展示

单因子方差分析

为了调查 1.5 V 3 号干电池的寿命是否由于生产工具的不同而不同，将每个厂的产品各取 5 个，测定其寿命，结果如下：

生产工厂	寿命	寿命	寿命	寿命	寿命
A1	24.7	24.3	21.6	19.3	20.3
A2	30.8	19.0	18.8	29.7	25.1
A3	17.9	30.4	34.9	34.1	15.9
A4	23.1	33.0	23.0	25.4	18.1
A5	25.2	37.5	31.6	26.8	27.5

对于同一个工厂生产的电池来说，他的寿命是一个随机变量。由于同一个工厂生产出来的产品大致相当，误差应服从正态分布，故随机变量也服从正态分布，即$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。所以，对于 $A1\sim A5$ 来说，他们的产品都服从正态分布 $X_i\sim N({\mu }_i,{\sigma }^2)$。但有一个重要前提，是他们的方差要相同，否则无法进行单因素方差分析。

单因素方差分析的原假设为 $H_0:{\mu }_1={\mu }_2=\cdots ={\mu }_n$，其中 $n$ 为工厂的数量。一般地，我们将影响因素成为因子或因素（factor），就本例而言，影响因素是工厂“类型”。

所以，单因素方差分析，就是为了判断类别型的自变量，对某个数量型的因变量有无影响的判断，且原假设是倾向于没有影响。

为了判断原假设，需要制定检验统计量。若原假设成立，我们有理由认为，每个样品，无论其生产工厂是谁，它们与其样本均值相差都不会太大，即：
$$S_s=\sum (x_{ij}-\bar{x}{)}^2$$
其中 $x_{ij}$ 是第 i , i ∈ { 1 , 2 , ⋯   , n } i, i\\in\\{1,2,\\cdots,n\\} i,i∈{1,2,⋯,n} 家工厂生产的第 j , j ∈ { 1 , 2 , ⋯   , n i } j, j\\in\\{1,2,\\cdots,n_i\\} j,j∈{1,2,⋯,ni​} 个样品。$\bar{x}$ 是所有样品的均值：
$$\bar{x}=\sum _i^n\sum _j^{n_i}{x}_{ij}/\sum _i^n{n}_i$$

由于 $S_s$ 从统计学的角度，无法找出一个合适的分布，但考虑到：
$$\begin{array}{rl}{S}_s& =\sum _i^n\sum _j^{n_i}(x_{ij}-\bar{x}{)}^2\\ & =\sum _i^n\sum _j^{n_i}({\bar{x}}_i-\bar{x}{)}^2+\sum _i^n\sum _j^{n_i}(x_{ij}-{\bar{x}}_i{)}^2\end{array}$$
仔细观察上式，会发现第一项是属于同一个工厂的产品与其均值的差别，是同一个工厂（因素）的方差，我们可以称之为组内方差；第二项是每一个工厂的均值，与总均值之间的差别，是不同工厂的方差，我们称之为组间误差。于是我们可以把上式改写为：
$$S_s=S{S}_1+S{S}_2$$

而我们知道，若不同厂家生产出来的产品如果没有显著差异，那么式：
$$\frac{S{S}_1}{S{S}_2}$$
应该比较小。也即组间方差，比组内方差会比较小。

但是 $\frac{S{S}_1}{S{S}_2}$ 似乎没有一个特定的分布。但我们知道 $S{S}_1$ 在 $X_i\sim N({\mu }_i,{\sigma }^2)$ 时，满足$S{S}_1\sim {\chi }^2(n-1)$。令

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