大O表示法

Posted 2021-06-26 大彤小忆

• 1. 算法的运行时间以不同的速度增加
• 2. 理解不同的大O运行时间
• 3. 大O表示法指出了最糟情况下的运行时间
• 4. 一些常见的大O运行时间

  大O表示法是一种特殊的表示法，指出了算法的速度有多快。

1. 算法的运行时间以不同的速度增加

  对于简单查找算法和二分查找算法，假设检查一个元素需要1毫秒，在列表包含100个元素的情况下，简单查找算法必须检查100个元素，因此需要100毫秒；而二分查找算法只需要检查7个元素（$lo{g}_{2}100$大约等于7），因此需要7毫秒就能查找完毕。但对于10亿个元素的列表，进行二分查找大约需要30毫秒（$lo{g}_{2}1000{}_{}000{}_{}000$大约等于30）；而进行简单查找需要10亿毫秒，相当于11天！

  这是因为二分查找和简单查找的运行时间的增速不同。也就是说，随着元素数量的增加，二分查找需要的额外时间并不多，二简单查找需要的额外时间却很多。

  大O表示法指出了算法有多快。例如，假设列表包含n个元素，简单查找需要检查每个元素，因此需要执行n次操作，使用大O表示法，运行时间为$O(n)$；二分查找需要执行logn次操作，使用大O表示法，运行时间为$O(logn)$。值得注意的是，大O表示法指的并非以秒为单位的速度，它让我们能够比较操作数，指出了算法运行时间的增速。

2. 理解不同的大O运行时间

  假如我们要画一个4 $\times$ 4 的网格，它包含16个格子。要绘制这样的网格，有什么好的算法吗？

  算法1： 以每次画一个的方式画16个格子。大O表示法计算的是操作数，在这个例子中，画一个格子就是一次操作，需要画16个格子，即进行16步，算法的运行时间为$O(n)$。

  算法2： 将纸对折再对折…在这个例子中，将纸对折一次就是一次操作，对折4次就可以得到16个网格，算法的运行时间为$O(logn)$。

3. 大O表示法指出了最糟情况下的运行时间

  假设使用简单查找在电话簿中找人，简单查找的运行时间为$O(n)$，意味着在最糟情况下必须查看电话簿中的每个条目，这可以保证简单查找的运行时间不可能超过$O(n)$。

  除了最糟情况下的运行时间之外，还应考虑平均情况的运行时间。

4. 一些常见的大O运行时间

  下面从快到慢的顺序列出了经常会遇到的5种大O运行时间。

1. $O(logn)$，也叫对数时间，这样的算法包括二分查找。
2. $O(n)$，也叫线性时间，这样的算法包括简单查找。
3. $O(n\ast logn)$，这样的算法包括快速排序 —— 一种速度较快的排序算法。
4. $O(n^2)$，这样的算法包括选择排序 —— 一种速度较慢的排序算法。
5. $O(n!)$，这样的算法包括旅行商问题的解决方案 —— 一种非常慢的算法。

  总结： 1. 算法的速度指的并非时间，而是操作数的增速。
      2. 谈论算法的速度时，我们说的是随着输入的增加，其运行时间将以什么速度增加。
      3. 算法的运行时间用大O表示法表示。
      4. O(logn)比O(n)快，当需要搜索的元素越多时，前者比后者快的越多。