DP问题从入门到精通1（背包问题）

Posted 2021-06-26 芜湖之肌肉金轮

最近写了很多dp的题目，状态方程只要转换出来，就特别简单，所以特意去研究了一下，怎么去做dp的题目，一下是一些见解。

背包问题

背包问题是dp问题的常客了，一般来说只要能将状态方程转换出来，就很好写。那么怎么样才能很快速的写出状态方程呢？emmm貌似没有什么好办法哈哈，多写就好了，只要把dp的题目类型都见一遍，那么状态方程就不是什么难事了。

01背包

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有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

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上面这个就是很经典的01背包，那么首先状态方程是啥，状态方程其实就是我们怎么看他，怎么去分析他的过程，这个二维的状态方程事f[i][j]，意思是从前i个物品中选，体积不超过j的价值，根据题目意思，故该方程的属性事max,所以是从前i个物品中选，体积不超过j的最大价值。

 for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=v[i])
            f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }

 完全背包

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有 NN 种物品和一个容量是 VV 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 ii 种物品的体积是 vivi，价值是 wiwi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

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   for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=v[i])f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
        }

 我们可以发现完全背包问题和01背包问题代码只相差一点点一个是max：f[i-1][j-v[i]]+w[i]，一个是max：f[i][j-v[i]]+w[i]，为什么呢，这里面其实有个转换。

这个图是从acwing上找的：完全背包（顺便y总yyds）。通过这个转换，我们就很清晰的知道了为什么是f[i][j-v[i]]+w[i]。然后根据我们的状态表示从前i个物品中选，体积不超过j的最大价值，故最后答案就是f[n][m](假设n个物体，最大体积是m)

多重背包

多重背包的题目如果数据较小是可以直接o（n^3）暴力去求解的，状态表示还依旧是从前i个物品中选，体积不超过j的最大价值。所以状态方程就是f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);

   for(int i=1;i<=n;i++)//枚举所有物品
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            for(int k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++)//枚举拿一个，拿两个....的情况
            {
                
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
            }
        }

但是这个是暴力的解法，假如数据很大呢？比如数据到了1000？，那么10^9肯定会超时。这时候我们可能回想能不能优化成01背包?把每一个三份物体全部看作是三个一份的物体，然后用01背包的思路去做是不是更好？但是一个一个的分实在是太慢了，除了一份一份的分从达到表达原来物体份数的方法，还有没有别的更好的呢？这个时候就要用到背包问题的二进制优化方法:

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比如随便一个数字：15，我们可不可以用最少的数字去表示，答案是可以找到的，我们可以用1，2，4，8去表示从0~15所有的数:0一个都不选，1选1，2选2，3选1+2，4选4，5选......14选2+4+8，15选1+2+4+8。如果折射到一般情况的话就是：

        
int n;//定义任意一个自然数
vector<int> f
cin>>n;
int N=n;
for(int j=1;j<=n;j*=2)
{
    n-=j;
    f.push_back(j)       
}

if(n>0)f.push_back(n);//假如s大于0说明，说明现在数组的数可以组成N-n的整数，所以要加上剩下的n
     

 这样我们就把拆分成份的时间复杂度优化成了o（logn）。

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我们已经通过二进制把物体都拆成了只能选一次的各个子物体，这样子就可以直接用01背包去做就可以了

/*
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
*/
const int N = 2010;
vector<pair<int,int >> vw;
int n,m;
int v,w,s;
int f[N];
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>v>>w>>s;
        for(int j=1;j<=s;j*=2)
        {
            s-=j;
            vw.push_back({j*v,j*w});
        }
        if(s>0)vw.push_back({s*v,s*w});
    }
   
    for(int i=1;i<=vw.size();i++)
    {
        for(int j=m;j>=0;j--)
        {
            auto t=vw[i-1];
            f[j]=f[j];
            if(j>=t.first)f[j]=max(f[j],f[j-t.first]+t.second);
        }
    }
        cout<<f[m];
    return 0;
}

 

分组背包

 

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有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值

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 经过以上的各种背包问题的洗礼，这个就比较容易想到这个的状态表示方程（才不是因为每个背包问题的状态表示都一样...）从前i组（注意这里是不同的这里是“组”）物品中选，体积不超过j的最大价值。

剩下的就和之前01背包一样了：

/*
有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式
第一行有两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 N 组数据：

每组数据第一行有一个整数 Si，表示第 i 个物品组的物品数量；
每组数据接下来有 Si 行，每行有两个整数 vij,wij，用空格隔开，分别表示第 i 个物品组的第 j 个物品的体积和价值；
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
*/
const int N = 110;
int f[N];
int v[N][N],w[N][N],s[N];
int n,m;
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>s[i];
        for(int j=1;j<=s[i];j++)
        {
            cin>>v[i][j]>>w[i][j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=m;j>=0;j--)
            for(int k=1;k<=s[i];k++)
            {
                if(j>=v[i][k])f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);
            }
    
    cout<<f[m];
    return 0;
}

 背包类dp结束

（以上就是本菜鸡学习下来的一点点心得体会吧，希望能帮到大家---y总的思路是真的好www）

学习网站acwing