C语言 二叉树与堆

Posted 2021-06-25 博客跳动

神奇的树

• 引言---树的故事
• 树的基本性质和描述
• • 树的基本特点
  • 树的关键字解析
  • 树的表示方法
• 二叉树的概念结构
• • 特殊二叉树
  • 二叉树的性质
  • 二叉树的存储结构
• 二叉树与堆
• • 堆的实现
  • 堆排序
  • 堆的功能实现
  • • 堆的插入
  • TOPK问题
• 二叉树的结构以及实现
• • 二叉树的遍历
  • 代码实现
  • • 程序实现方法 以及递归小技巧

引言—树的故事

在自然界中有很多树 它们是这样的

但是在我们的眼中 他是这样的

显而易见 树的特点就是一对多 ，我们利用这个一对多的特点，可以让我们更好的解决编程中的问题，在树中 ，最基础的二叉树是我们的重点研究对象。
在看一眼神奇的堆排序的动态图

做事情，先求对，在求巧，一步一步才可有所成就，所以让我们从基础开始吧！

树的基本性质和描述

 树是一个一对多的特殊数据类型，树的根在上 叶子在上 。有种一生二，二生三，三生万物的感觉。

树的基本特点

1. 树有且只有一个根，且根没有后继结点。

2. 树是互不相交的
   
   
   ps： 图可知 不构成闭合回路则不相交。

3. 每一个结点可在分为一个子树。

4. 树的定义是一个递归定义，即树在定义时又会用到树的概念，他道出了树的固有特性。

树的关键字解析

树有一大段关键字很让人头疼

结点的分类：

ps：

1. 结点的度： 结点拥有的子树数称为结点的度。度为0的点成为叶节点或终端结点，度不为0的节点称为非终端结点。树的度是树内各个结点的最大值。此图 D为最大的结点，
2. 结点的层次：从根开始为第一层，依次递增
   

简单对比 树形结构与线性结构：

树的表示方法

1. 双亲表示法

typedef struct
{
	int data;
	int parent;   // 双亲位置
}PtNode;
typedef struct
{
	PtNode nodes[10];
	int root ;  
	int n;

}PTree;

此图数字表示父亲的结点

通过“父亲的下标”即可找到父亲的位置
注：

1. 找双亲时间复杂度 O(1);找结点儿子需要遍历树

2. 数据的增删查改。

3. 左孩子右兄弟

typedef struct CSNode
{
	int data;
	struct CSNode* firstchild, * rightsib;
};

左孩子右兄弟的方式就是 多一个指针 一个指针指向自己最左侧的孩子 另一个指针指向自己右侧兄弟

这种表示法是我们常用的表示法。

二叉树的概念结构

二叉树

二叉树是一种特殊的树，他的特点是一个根节点两个子节点，这两个子节点又分别叫做左子树和右子树。

注意

1. 二叉树的度不超过二
2. 二叉树左右子树不可颠倒
3. 二叉树有且只有一个子树时，也需要区分左右。

特殊二叉树

满二叉树
一个二叉树每一层都是满的，那么这个二叉树就是满二叉树。如果一个二叉树的层数为k，且结点总数是（2^k）-1

完全二叉树
一个完全二叉树的前k层都是满的第k层可以不满 ，但是必须连续，及满足先左后右。

注意

1. 满二叉树一定是完全二叉树，反之就不对。
2. 完全二叉树一定是先左后右，如下图则不对
   
3. 完全二叉树叶子的结点都在最后两层，左侧集中最后第k层的叶子，右侧集中第k-1层的叶子

二叉树的性质

1. 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)的结点i>0

2. 深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点

3. 对任何一个二叉树T，如果其终端结点树为n0，度为2的结点树为n2则no=n2+1；
   

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度为log2(n)+1

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序从0开始编号，则对与序号为i的结点有：
   1. 若i>0,i位置结点的双亲序号为(i-1)/2；
   2. 若2i+1<n,左孩子序号：2i+1,2i+1>=n则无左孩子
   3. 若2i+2<n,右孩子序号；2i+2,2i+2>=n则无有孩子

     假设父亲的结点序号为parent，左孩子为leftchild，右孩子为ringhtchild。
     有： leftchild=parent*2+1
             rightchild=parent*2+2
   

e~g

1. 在具有2n个结点的完全二叉树中，叶子的结点个数为

解 在完全二叉树中有且只有3种情况

1. 度为0
   度为0，即只有根结点 叶子的结点个数也为n

2. 有且只有一个度为1的结点
   
   设 x等于读为2的结点数 ，y等于叶子节点数 x+y+1=2n 又由叶子数等于度为2的加1得 y=x+1
   得 y=n

3. 没有度为1的结点
   

由图可知 显然不能构成偶数个结点 故舍弃。
综上所述：叶子节点个数为n

一个具有完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度是

解： 直接带公式得 10；

一个具有767个结点的完全二叉树，其叶子节点个数为。

解 由前面的结论可知 此二叉树必定是

所以 设双结点为x 叶子为y y=x+1 且 y+y-1=767 解得 y=384

一颗度为2的树和二叉树有什么区别

解：

1. 度为2的树是无序树 不区分左右 ，而二叉树必须先左后右。
2. 度为2的树 一定有一个结点度为2，二叉树可以没有

证明 一个满k叉树上的叶子结点数n0和非叶子结点数n1瞒住*n0=(k-1)n1+1

首先，我们知道了满二叉树 ，满k叉树就是第n层以上的所有个结点的度都为k

总分支结点数=k倍的n1
总结点数=n0+n1
总分支结点数+1=总结点数
kn1+1=no+n1

二叉树的存储结构

二叉树的存储是按照自上而下，从左往右的排序的

如果将该二叉树存入数组中 就会得到

二叉树与堆

堆是一种特殊的数，即是完全二叉树。

观察这个树 他的父结点都小于子结点，我们称之为最小堆，反之如果所有的父结点都比子结点大，这样的完全二叉树就被成为最大堆

注意：

1. 堆是一颗完全二叉树
2. 堆只有大堆和小堆两种
3. 每个子树都是堆

堆的实现

有如下数组
int arr[] = { 23,2,5,12,7,17,25,19,36,99,22,28,46,92 };
如何将其调整成最小堆呢？

由图可知，最小堆的特点就是父亲小于儿子 ，而此树圈起来的地方儿子大于父亲，所以我们需要把最小的儿子换上去。

换下来后 我们发现还是不满足 所以还得交换

画圈处该二叉树任然不满足 只需要在交换一次，便是最小堆了

此时二叉树满足了最小堆。
此过程的算法，我们称之为向下调整算法，如果我们将一颗二叉树分区 即

向下调整的本质就是先满足上面的，在满足下面的

注意：

1. 向下调整算法，被调整元素的左右字树都必须是最小堆。
2. 向下调整算法，调整到叶子结点时，即可停止
3. 如果小的孩子比父亲打，则不需要处理，整个树已经是最小堆。

附上代码

#include<stdio.h>
void AdjustDown(int a[], int n, int parent)
{
	
	int child = 2 * parent + 1;//套用公式可得
	
	while (child < n)
	{
		if (child+1<n&&a[child] > a[child + 1])
		{
			child++;
		}
		if (a[parent] > a[child])
		{
			
			int tmp = a[child];
			a[child] = a[parent];
			a[parent] = tmp;
				parent = child;
		child = 2 * parent + 1;
		}
	
		else
		{
			break;
		}
	}
}
int main()
{
	int arr[14] = { 23,2,5,12,7,17,25,19,36,99,22,28,46,92 };
	int n = 14;
	 AdjustDown(arr, n, 0);
	return 0;
}

代码解读

那么更一般的情况 左右子树都不是小堆的情况 ，怎么调整呢？
我们只需自下而上，由小的堆树变成大的堆树
即是 先满足下面在满足上面

先满足下面的堆 在满足上面 那么 只需要给函数依次传进去所有的父亲结点即可

#include<stdio.h>
void AdjustDown(int a[], int n, int parent)
{
	
	int child = 2 * parent + 1;
	
	while (child < n)
	{
		if (child+1<=n && a[child] >a[child + 1])
		{
			child++;
		}
		if (a[parent] < a[child])
		{
			
			int tmp = a[child];
			a[child] = a[parent];
			a[parent] = tmp;
			parent = child;
			child = 2 * parent + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

int main()
{
	int arr[14] = { 23,2,5,12,7,17,25,19,36,99,22,28,46,92 };
	int n = 14;
	 
	int tmp = 0;
	int i = (n - 1 - 1) / 2;
	for (i; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(arr, n, i);
	}
	return 0;
}

堆排序

以升序为例 ，我们首先会想到小堆 但是 小堆不适合。我们看

我们知道 堆顶元素一定是最小的 那么我们只需要依次拿走堆顶
当我们拿走2 后 7成了堆顶 之后

当去掉堆顶后 下一个元素补上 小堆荡然无存，顺序全乱了 。所以，小堆不适合排升序。
大堆排升序又该怎么办呢？

此时 ，我们只需要把10和80互换，不把80考虑在堆内

那么代码实现又当如何呢？

附上整体代码

#include<stdio.h>
void AdjustDown(int a[], int n, int parent)
{
	
	int child = 2 * parent + 1;
	
	while (child < n)
	{
		if (child+1<n && a[child] <a[child + 1])
		{
			child++;
		}
		if (a[parent] < a[child])
		{
			
			int tmp = a[child];
			a[child] = a[parent];
			a[parent] = tmp;
			parent = child;
			child = 2 * parent + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

int main()
{
	int arr[14] = { 23,2,5,12,7,17,25,19,36,99,22,28,46,92 };
	int n =14 ;
	 
	int tmp = 0;
	int i = (n - 1 - 1) / 2;
	for (i; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(arr, n, i);
	}
	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		int tmp = arr[0];
		arr[0] = arr[end];
		arr[end] = tmp;
		AdjustDown(arr, end, 0);
		end--;
	}
	return 0;
}

堆排序是一种高效的排序
堆的总结：

1. 物理结构是一个数组
2. 逻辑结构是完全二叉树
3. 大堆与小堆关系
4. 堆排序
5. 插入元素
6. 快速找出最大或最小

堆的功能实现

堆的插入

堆的插入，要求插入之后还是堆。 这里我们引入堆的向上调整


那么代码如何实现呢？ 和向下排序类似

附上代码

void AdjustUp(int* a, int n, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child>0)
	{
		
		if (a[parent] < a[child])
		{
			Swap(&a[parent], &a[child]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

插入元素后经过一次向上排序即可。
也可以使用向下排序 但麻烦许多。

TOPK问题

TopK问题的本质就是取小堆取顶操作 建堆 ，然后取顶，甚至你可以说就是一个排顺序。把前四个放进别的数组。但是排序就意味着时间复杂度的加重 ， 请读者使用建堆知识，取堆顶数据的方式，拿到最小数据， 这里给出题目和答案

 * Note: The returned array must be malloced, assume caller calls free().
 */
/* 交换 */
void swap(int* a, int* b) {
    int tmp = *a;
    *a = *b;
    *b = tmp;
}

/* 从堆下层向上交换元素，使得堆为大根堆 */
void swim(int* nums, int k) {
    while (k > 1 && nums[k] > nums[k / 2]) {
        swap(&nums[k], &nums[k / 2]);
        k /= 2;
    }
}

/* 从堆上层向下层交换元素，使得堆为大根堆 */
void sink(int* nums, int k, int numsSize) {
    while (2 * k < numsSize) {
        int child = 2 * k;
        if (child < numsSize && nums[child] < nums[child + 1]) {
            child++;
        }
        if (nums[k] > nums[child]) {
            break;
        }
        swap(&nums[k], &nums[child]);
        k = child;
    }
}

/* 定义堆的结构体 */
typedef struct Heap {
    int* data;
    int szie;
    int capacity;
}T_Heap, *PT_Heap;

/* 初始化一个堆 */
PT_Heap createHeap(int k) {
    PT_Heap obj = (PT_Heap)malloc(sizeof(T_Heap));
    obj->data = (int*)malloc(sizeof(int) * (k + 1));
    obj->szie = 0;
    obj->capacity = k + 1;
    return obj;
}

/* 判断堆是否为空 */
bool isEmpty(PT_Heap obj) {
    return obj->szie == 0;
}

/* 获得堆的当前大小 */
int getHeapSize(PT_Heap obj) {
    return obj->szie;
}

/* 将元素入堆 */
void pushHeap(PT_Heap obj, int elem) {
    /* 新加入的元素放入堆的最后 */
    obj->data[++obj->szie] = elem;
    /* 对当前堆进行排序,使其成为一个大根堆 */
    swim(obj->data, obj->szie);
}

/* 获得堆顶元素 */
int getHeapTop(PT_Heap obj) {
    return obj->data[1];
}

/* 将堆顶元素出堆 */
int popHeap(PT_Heap obj) {
    /* 保存堆顶元素 */
    int top = obj->data[1];
    /* 将堆顶元素和堆底元素交换,同时堆长度减一 */
    swap(&obj->data[1], &obj->data[obj->szie--]);
    /* 将原先的堆底元素赋值为INT_MIN */
    obj->data[obj->szie + 1] = INT_MIN;
    /* 从堆顶开始重新堆化 */
    sink(obj->data, 1, obj->szie);
    return top;
}

int* getLeastNumbers(int* arr, int arrSize, int k, int* returnSize){
    /* 若数组为空、或k为0，返回NULL */
    if (arrSize == 0 || k == 0) {
        *returnSize = 0;
        return NULL;
    } else {
        *returnSize = k;
    }
    /* 返回数组长度为k */
    int* ret = (int*)calloc(k, sizeof(int));
    /* 初始化一个大小为k的堆 */
    PT_Heap heap = createHeap(k);
    /* 将输入数组前k个元素堆化 */
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        pushHeap(heap, arr[i]);
    }
    /* 将输入数组剩下的元素依次插入堆，得出最小的k个数 */
    for (int以上是关于C语言 二叉树与堆的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
 C语言 二叉树与堆
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 树二叉树与堆
 C语言的世界-树与二叉树
 C语言范例学习03-下
 二叉树与队列的互相转化