牛客练习赛81 D.小 Q 与树(树剖+套路)

Posted 2021-06-25 issue是fw

LINK

$n$个点的树,点$i$的点权是$a_i$

求$$\sum _{u=1}^n\sum _{v=1}^n\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}({\mathrm{a}}_{\mathrm{u}},{\mathrm{a}}_{\mathrm{v}})\ast \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}(\mathrm{u},\mathrm{v})$$

---

考虑$\min$不太好处理,我们按照点权从大到小加入

权值第$i$大的点记作$\mathrm{r}{\mathrm{k}}_{\mathrm{i}}$

那么这个点和前面所有点产生的贡献是

$$\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{k}}(\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{e}{\mathrm{p}}_{\mathrm{r}{\mathrm{k}}_{\mathrm{k}}}+\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{e}{\mathrm{p}}_{\mathrm{r}{\mathrm{k}}_{\mathrm{i}}}-2\ast \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{e}{\mathrm{p}}_{\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{a}(\mathrm{r}{\mathrm{k}}_{\mathrm{i}},\mathrm{r}{\mathrm{k}}_{\mathrm{k}})}$$

$$=\mathrm{k}\ast \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{e}{\mathrm{p}}_{\mathrm{r}{\mathrm{k}}_{\mathrm{k}}}+\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{k}}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{e}{\mathrm{p}}_{\mathrm{r}{\mathrm{k}}_{\mathrm{i}}}-2\ast \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{k}}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{e}{\mathrm{p}}_{\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{a}(\mathrm{r}{\mathrm{k}}_{\mathrm{i}},\mathrm{r}{\mathrm{k}}_{\mathrm{k}})}$$

前两项都可以$O(1)$得到,考虑如何求$\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{k}}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{e}{\mathrm{p}}_{\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{a}(\mathrm{r}{\mathrm{k}}_{\mathrm{i}},\mathrm{r}{\mathrm{k}}_{\mathrm{k}})}$

这样比较巧妙,考虑$lca$的深度是两点到根节点的路径交

那么我们每次在树上加入一个点$u$,就把根节点到$u$的路径权值加一

现在我们求$\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{k}}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{e}{\mathrm{p}}_{\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{a}(\mathrm{r}{\mathrm{k}}_{\mathrm{i}},\mathrm{r}{\mathrm{k}}_{\mathrm{k}})}$,只需要查一下根节点到$\mathrm{r}{\mathrm{k}}_{\mathrm{k}}$的权值和就好了

这样我们只会查到路径交,而这刚好就是$lca$的深度和

接下来就简单了,树剖一下即可.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mid (l+r>>1)
#define ls (rt<<1)
#define rs (rt<<1|1)
#define lson ls,l,mid
#define rson rs,mid+1,r
const int N = 1e6+10;
const int mod = 998244353;
vector<int>vec[N];
int n,ans,a[N],rk[N];
namespace HLD
{
	long long sum[N],laz[N];
	void push_down(int rt,int l,int r)
	{
		if( laz[rt]==0 )	return;
		sum[ls] += laz[rt]*(mid-l+1), sum[rs] += laz[rt]*(r-mid);
		laz[ls] += laz[rt], laz[rs] += laz[rt], laz[rt] = 0;
	}
	void add(int rt,int l,int r,int L,int R,int val)
	{
		if( l>R || r<L )	return;
		if( l>=L && r<=R ){ laz[rt] += val; sum[rt] += (r-l+1)*val; return; }
		push_down(rt,l,r);
		add( lson,L,R,val ); add( rson,L,R,val );
		sum[rt] = sum[ls]+sum[rs];
	}
	long long ask(int rt,int l,int r,int L,int R)
	{
		if( l>R || r<L )	return 0;
		if( l>=L && r<=R )	return sum[rt];
		push_down(rt,l,r);
		return ask( lson,L,R )+ask( rson,L,R );	
	}
	int dfn[N],siz[N],son[N],fa[N],deep[N],top[N],id;
	void dfs1(int u,int father)
	{
		siz[u] = 1, deep[u] = deep[father]+1, fa[u] = father;
		for( auto v:vec[u] )
		{
			if( v==father )	continue;
			dfs1( v,u );
			siz[u] += siz[v];
			if( siz[son[u]]<siz[v] )	son[u] = v;
		}
	}
	void dfs2(int u,int topf)
	{
		dfn[u] = ++id; top[u] = topf;
		if( son[u] )	dfs2( son[u],topf );
		for( auto v:vec[u] )
		{
			if( v==fa[u] || v==son[u] )	continue;
			dfs2( v,v );
		}
	}
	void Tree_add(int x,int y)
	{
		while( top[x]!=top[y] )
		{
			if( deep[top[x]]<deep[top[y]] )	swap( x,y );
			add(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x],1 );
			x = fa[top[x]];
		}
		if( deep[x]>deep[y] )	swap( x,y );
		add(1,1,n,dfn[x],dfn[y],1 );
	}
	int Tree_ask(int x,int y)
	{
		long long ans = 0;
		while( top[x]!=top[y] )
		{
			if( deep[top[x]]<deep[top[y]] )	swap( x,y );
			ans += ask(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x] );
			x = fa[top[x]];
		}
		if( deep[x]>deep[y] )	swap( x,y );
		ans += ask(1,1,n,dfn[x],dfn[y] )牛客练习赛81 B.小 Q 与彼岸花(Tire树上贪心或区间DP)

 牛客练习赛87 D.小G的排列-加强版(思维,组合数学)
 牛客练习赛84 D.牛客推荐系统开发之动态特征获取(set应用)
 牛客练习赛88 D都市的柏油路太硬
 牛客练习赛105 D.点分治分点(spfa&bfs)
 牛客练习赛85 D.数学家的迷题(bitset暴力)