错排问题分析

Posted 2021-06-25 ych9527

前言

错排问题，是一种著名且常见的算法，应该熟练掌握它

结合例题进行分析

今年公司年会的奖品特别给力，但获奖的规矩却很奇葩：

1. 首先，所有人员都将一张写有自己名字的字条放入抽奖箱中；
2. 待所有字条加入完毕，每人从箱中取一个字条；
3. 如果抽到的字条上写的就是自己的名字，那么“恭喜你，中奖了！”
   现在告诉你参加晚会的人数，请你计算有多少概率会出现无人获奖？
   题目链接

分析：
概率 = 每个人拿到的不是自己名字的排列总和 / 每个人有可能拿到的名字的排列总和；

分母，是要求得所有可能出现的情况，很显然是一个全排列问题，即为n！

接下来对分子进行分析：
设f(n)表示有n个人时，错排的方式

1.第一个人，先将其错排 -> 将他放在 2~n的位置上，总共有n-1种方法

2.假设第一个人放的位置是k，加下来再对k进行分析：

a.可以将k放在1的位置，那么剩余n-2个元素的排列方法为 f(n-2)

b.不将k放在1的位置，接下来剩余 n-1个元素和n-1个位置，此时可以将第1个位置看成第k个位置，即将要放在第k个位置的元素，可以放到第一个位置上，此时有f(n-1)种方法 -> 完成第二步的方法为 f(n-1) + f(n-2 )

完成一二步的所有方法为 (n-1) * [f(n-1) + f(n-2) ]

综上所述：
f(n) = (n-1)*[f(n-1) + f(n-2 )] 当 n=1时，f(1)=0; n=2时，f(2)=1;

实现代码：

#include <iostream>
using namespace std;

double GetSum(int n)//获得所有的排列数
{
    if(n<3)
        return n;
    return n*GetSum(n-1);
}

double GetNum(int n)//获得排错的总数
{
    if(n==1)
        return 0;
    if(n==2)
        return 1;
    
    return (n-1)*(GetNum(n-2)+GetNum(n-1));
}

int main()
{
    double n;
    while(cin>>n)
    {
       double num=GetNum(n)/GetSum(n)*100;
        printf("%.2f%\\n",num);
    }
    
    
    return 0;
}