Educational Codeforces Round 110 div.2 A~F题解

Posted 2021-06-25 欣君

视频讲解：BV1254y137Rn

A. Fair Playoff

题目大意

有 $4$ 位选手参加比赛，第 $i$ 位选手的水平为 $s_i(1\le s_i\le 100)$ 且每位选手的水平不同。如果两位选手比赛，那么水平更高的选手会获胜。
比赛采用以下赛制：

• 第一位选手和第二位选手比赛
• 第三位选手和第四位选手比赛
• 上述两场比赛的胜者进行决赛

如果是水平最高的两位选手在决赛相遇，则称比赛是公平的。
请判断比赛是否公平。

题解

简单的模拟题，有多种方法可以实现：

• 直接判断决赛的两位选手的水平是否为最高与次高
• 判断 $max(s_1,s_2)>min(s_3,s_4)$ 和 $max(s_3,s_4)>min(s_1,s_2)$ 是否都成立
• 判断 $min(max(a,b),max(c,d))\ge max(min(a,b),min(c,d))$ 是否成立

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

int main()
{
	int T,i,s[10],b[10];
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d%d%d",&s[1],&s[2],&s[3],&s[4]);
		for(i=1;i<=4;i++)
			b[i]=s[i];
		sort(b+1,b+5);
		if(max(s[1],s[2])+max(s[3],s[4])==b[3]+b[4])
			printf("YES\\n");
		else
			printf("NO\\n");
	}
}

B. Array Reodering

题目大意

给定包含 $n(1\le n\le 2000)$ 个元素的数组 $a(1\le a_i\le 10^5)$ 。
对于一对索引 $i,j$ ，若 $1\le i<j\le n$ 且 $gcd(a_i,2a_j)>1$ ，则称其为好的索引对。
现在你可以对数组进行重新排列，求最大的好索引对数量。

题解

如果 $a_i$ 是偶数，那么必定满足 $gcd(a_i,2a_j)>1$ ，因此在重新排列时，应该将偶数都排在前面，奇数排在后面。
对于奇数的 $a_i,a_j$ ， $gcd(a_i,2a_j)=gcd(a_i,a_j)$ ，可以直接用两重循环在 $O(N^2)$ 复杂度内求解。
也可以对每个数分解质因数后，用容斥处理。由于分解质因数后 $a_i$ 的质因数个数最多为 $5$ 个，因此复杂度可以优化到 $O(N\ast 2^5)$ 。（其实不优化也完全没事，还多打了好多代码）

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const int MAXN=100100;
int npri[MAXN],sum[MAXN],a[MAXN];
vector<int> fac[MAXN];

int main()
{
	int i,j,k,T,n,limit,tmp,num1,cnt,x;
	ll ans;
	for(i=2;i<MAXN;i++)
	{
		if(npri[i])
			continue;
		fac[i].push_back(i);
		for(j=i+i;j<MAXN;j+=i)
		{
			npri[j]=1;
			fac[j].push_back(i);
		}
	}
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		cnt=0;
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&x);
			if(x%2)
				a[++cnt]=x;
		}
		ans=1ll*cnt*(n-cnt)+1ll*(n-cnt)*(n-cnt-1)/2;
		sort(a+1,a+cnt+1);
		memset(sum,0,sizeof(sum));
		for(i=1;i<=cnt;i++)
		{
			limit=1<<(fac[a[i]].size());
			for(j=1;j<limit;j++)
			{
				tmp=1;
				num1=0;
				for(k=0;k<fac[a[i]].size();k++)
				{
					if((j>>k)&1)
					{
						num1++;
						tmp*=fac[a[i]][k];
					}
				}
				if(num1)
					ans+=sum[tmp];
				else
					ans-=sum[tmp];
				sum[tmp]++;
			}
		}
		printf("%lld\\n",ans);
	}
}

C. Unstable String

题目大意

给定一个仅由 0,1 和 ? 组成的字符串 $s(1\le |s|\le 2\cdot 10^5)$ 。
如果一个字符串由 0 和 1 组成，且相邻字符不同，则称其为不稳定字符串。
如果一个字符串由 0,1 和 ? 组成，且可以通过替换 ? 为 0 或 1 （每个 ? 可以替换为不同的字符），则称其为漂亮字符串。
求字符串 $s$ 有多少个漂亮的连续子串。

题解

如果子串 $s[l,r]$ 是漂亮的，那么 $s[i,r](l\le i\le r)$ 也是漂亮的。
因此可以记录上一次的非法位置，那么非法位置之后的子串，都是漂亮的。
由于不确定 ? 变成 0 还是 1 ，因此不妨设：

• $bef0$ 表示无法满足奇数位为 1 偶数位为 0 的前一个位置
• $bef1$ 表示无法满足奇数位为 0 偶数位为 1 的前一个位置

如果连续子串右端点为 $r$ ，则

• 左端点 $l\in [bef0以上是关于Educational\; Codeforces\; Round\; 110\; div.2\; A~F题解的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章Educational\; Codeforces\; Round\; 7\; AEducational\; Codeforces\; Round\; 7Educational\; Codeforces\; Round\; 90Educational\; Codeforces\; Round\; 33Codeforces\; Educational\; Codeforces\; Round\; 54\; 题解Educational\; Codeforces\; Round\; 27$