❤️学姐说她用 8 行代码写了 8 个算法（上）❤️（推荐收藏）

Posted 2021-06-25 英雄哪里出来

文章目录

• 一、前言
• 二、朝思暮想
• 三、南柯一梦
• 四、梦中的梦中
• 五、梦中人的梦中
• • 算法一
  • 算法二
  • 算法三
  • 算法四
• 六、梦不到，被吹散
• 七、往事如风
• • 1、知识点回顾
  • 2、温故而知新

一、前言

  本文适合对算法处于朦胧期的初学者，文字浅显易懂，并且配有生动有趣的动图，也是作者呕心沥血之作，希望对刚入大学，或者职场上想要涉足算法的青年同僚有所启示。
  学习算法，任何时候都不嫌晚，大不了就是大器晚成而已，所以无论你是30岁，40岁，50岁，甚至60岁，只要下了决心，就已经成功了一半！本文的故事发生在 ❤️学姐教你 10 道题搞定 c 语言❤️ 的两年后，剧情扑朔迷离，作者至今回忆起来还历历在目。

二、朝思暮想

• 自从上次一别，不知何时才能相见，不免有些感伤。于是，那天晚上，我，辗转反侧，彻夜难眠，寝不安席，食无甘味。
  不太聪明的亚子
• 从来没有一个女孩子可以让我如此朝思暮想，魂牵梦萦。
• 可能是因为她还没有把她的毕生算法教会给我，怎么一声不吭就人间蒸发了呢！我不甘心！
• 就算是天涯海角，我也要找到你！
  
• 终于，在一个夜黑风高的晚上，让我在睡梦中见到了她，梦里的她比现实中还要逗比。竟然给我写下了八行代码！
  
• 也就是因为那个晚上，成就了我后来的 ❤️《夜深人静写算法》❤️
• 她告诉我，一行代码代表一个算法！我觉得她在侮辱我的智商！
• 那天晚上大致是这样的 … …

三、南柯一梦

四、梦中的梦中

• 哎，越想越不对劲！
• 所以我打算继续睡，看看能不能继续梦到学姐。
• 果然……功夫不负有心人……
  
• 学姐出现了！！！

• 学姐还是像往常一样，心思缜密，替人着想，越来越崇拜她了。

五、梦中人的梦中

算法一

【例题1】给定 $n(n\le 65535)$，求 ${\sum }_{i=1}^{n}i=1+2+...+n$。

• 这是一个等差数列！
• 我直接用等差数列的求和公式就行了。

int sum(int n) {
    return n * (n + 1) / 2;
}

• 然后我调试了一下，发现：
  
• 当 $n=65535$ 时，输出的竟然是负数！

原因是因为 $n\ast (n+1)=65535\ast 65536=(2^{16}-1)2^{16}=2^{32}-2^{16}$，而 $int$ 能够表示的最大值为 $2^{31}-1$，所以产生了溢出。就变成了负数。至于为什么溢出会变成负数，可以了解补码相关的知识：c++ 补码详解。

• 这里只需要对 $n$ 进行奇偶性判定，将除法放在乘法之前，就可以防止溢出了。即：
• $$sum(n)=\{\begin{array}{ll}(n+1)/2\times n& n为奇数\\ n/2\times (n+1)& n为偶数\end{array}$$
• c++ 实现如下：

int sum(int n) {
    if(n % 2 == 1) {
        return (n + 1) / 2 * n;
    }else {
        return n / 2 * (n + 1);
    }
}

• 然后我们再通过三目运算符写成一行代码，如下：

int sum(int n) {
    return (n%2) ? (n+1)/2*n : n/2*(n+1);
}

这里的 condition ? a : b是 c/c++ 中的三目运算符，含义是根据表达式condition的值的真或假，选择返回 a还是 b。由于对于一个数 $x$，$x$ 非0就是真，为0就是假，所以可以直接省略 x == 0的判断。

• 通过这段代码，我了解了 32位整数的溢出、补码表示、三目运算符、表达式真值的省略写法。

算法二

【例题2】给定 $n(n<16)$，求 ${\prod }_{i=1}^{n}i=1\times 2\times ...\times n$。

• 由于 $n$ 比较小，所以我打算直接暴力枚举，大概可以写成这样：

int sum(int n) {
    int s = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        s *= i;
    }
    return s;
}

• 但是学姐说的一行代码好像比较难办到，我继续压缩，把 s这个变量放到循环体内和i一起初始化，并且把乘法和循环放到同一行，变成了下面这副样子。

int sum(int n) {
    for(int s = 1, i = 1; i <= n; ++i) s *= i;
    return s;
}

• 这时候发现编译不过！！！
  
• 原因是：s的作用域在循环体内，所以无法在循环体外部进行使用，但是我们这个函数有需要有一个返回值，总不能把函数体给返回吧？这可如何是好！

• 由于那时候，我对递归还没有什么概念，所以一脸懵逼。

• 我还是听不懂……

• 这下我就懂了！
• 我们可以定义这么一个函数 $f(x)=1\times 2\times 3\times ...\times x$，其中 $x\ge 0$。
• 当 $x>0$ 时，代入 $(x-1)$，显然有 $f(x-1)=1\times 2\times 3\times ...\times (x-1)$；
• 于是，可以得到：
• $$\frac{f(x)}{f(x-1)}=x$$
• 由于 $f(x-1)>0$， 等式两边可以同时乘上 $f(x-1)$，很容易得出递推公式如下：
• $$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& (x=0)\\ f(x-1)\times x& (x>0)\end{array}$$
• 所以，翻译成 c/c++ 的语言，就可以写成这样：

int f(int x) {
    if(x == 0) {
        return 1;
    }else {
        return f(x-1) * x;
    }
}

• 然后利用三目运算符，改成一行代码，得到：

int f(int x) {
    return x ? f(x-1) * x : 1;
}

• 通过这段代码，我了解了 递推公式 和 递归调用。

算法三

【例题3】现在有一个 $n(n\le 10000)$ 个元素的数组 $a[i]$，但是我们已知的是前 $i$ 个元素的和 $f_{[}i](1\le i\le n,1\le f[i]\le 100000)$，然后给出 $以上是关于❤️学姐说她用\; 8\; 行代码写了\; 8\; 个算法（上）❤️（推荐收藏）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章$

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