[ABC202F]Integer Convex Hull

Posted 2021-06-24 Tan_tan_tann

Integer Convex Hull

题解

首先一看到这种求凸包面积为整数的，我们应该很容易想到dp 大概真的很容易想到吧

我们先考虑一下对于一个凸包我们怎么求它的面积，我们可以考虑把它拆分成三角形。
首先，对于一个凸包，它是有上下两条轮廓线的。
对于上轮廓线，我们就加上相邻的两个点与原点组成的三角形，对于下轮廓线，就将其减去。
这样，对于一个有$n$个点的三角形，我们就可以$O\left(n\right)$地将其求出。
由于它只要求面积是整数，并不要求面积的大小，三角形面积是加还是减并不重要，不妨就让下轮廓的三角形也是加，这并不会影响答案。
对于$S_{△}ABC$，我们可以通过正弦定理得到：
$$S_{△}ABC=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|\sin A=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right|$$
恰好是向量的叉乘，我们可以将那个$\frac{1}{2}$去掉，转化成判断奇偶性，也就是求出$\left|\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}\right|=X_A{Y}_B-X_B{Y}_A$。
我们只需要求出轮廓线上相邻的两个点的叉乘就可以了。

于是我们很容易就联想到通过轮廓线来做$dp$，我们需要分上轮廓线与下轮廓线两条来进行。
设$u{p}_{i,j,0/1}$表示上轮廓线上最后两个点的为$i,j$，且此时已经得到面积的奇偶性为$0/1$时的点的选择方案数，$d{n}_{i,j,0/1}$就表示下轮廓线上同样的东西。
很容易发现，对于上轮廓线，我们要求其上所有的向量都是不断向下弯曲的，即下一条边可以由上一条边顺时针翻折得到，这同样可以通过叉乘的值与$0$的大小关系得到。
也就是说当$\left|\overrightarrow{P_i{P}_j}\times \overrightarrow{P_j{P}_k}\right|<0$，我们就可以用$u{p}_{i,j}$去更新$u{p}_{j,k}$。
下轮廓线同理。

为了避免最后翻折到往回跑的情况，我们可以先将所有的点按$x$排序。
对于两点垂直的情况，我们可以单独将其放到下轮廓线中进行处理，这也要求我们对所有点要将$y$作为第二关键字进行排序。
由于我们求的是最后的方案数，我们势必就要对身处其中的点的数量进行统计，记$ove{r}_{i,j}$表示在线段$P_i{P}_j$之上的点的个数。
那么下轮廓线的转移相当于
$$d{n}_{i,j}=\sum _{k=1}^{j-1}\left[\left|\overrightarrow{P_i{P}_j}\times \overrightarrow{P_j{P}_k}\right|⩾0\right]2^{ovConvex\; hull凸包}$$

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