31线性空间05——列空间和零空间维数

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了31线性空间05——列空间和零空间维数相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

文章目录

  1. 线性空间01——线性空间、线性相关、线性无关、基和维数、极大线性无关
  2. 线性空间02——坐标、坐标变换与基变换、过度矩阵
  3. 线性空间03——子空间、子空间的交与和、生成子空间、 子空间的维数公式
  4. 线性空间04——子空间的直和、n个子空间的直和、直和分解、直和补
  5. 线性空间05——列空间和零空间、维数
  6. 线性空间06——行空间和左零空间
  7. 线性空间07——四个基本子空间的基与维数_

我们在前几节讨论了矩阵和向量，一个线性方程组可以写成矩阵形式： A x = b Ax=b Ax=b ，它的解是向量的集合。正如微积分研究点的集合关于开集、闭集和极限等性质，线性代数将考虑解向量的集合关于加法、数乘的运算性质，满足这种运算性质的集合称为向量空间(线性空间)。

设 A x = b A \\mathbf{x}=\\mathbf{b} Ax=b 有两个互异的解 α , β , α ≠ β \\alpha, \\beta, \\alpha \\neq \\beta α,β,α​=β, 则
A α = b A β = b } ⟹ ∀ c ∈ R , A ( c α + ( 1 − c ) β ) = b \\left.\\begin{array}{l}A \\alpha=\\mathbf{b} \\\\ A \\beta=\\mathbf{b}\\end{array}\\right\\} \\Longrightarrow \\forall c \\in \\mathbb{R}, A(c \\alpha+(1-c) \\beta)=\\mathbf{b} Aα=bAβ=b​}⟹∀c∈R,A(cα+(1−c)β)=b

  • 即 c α + ( 1 − c ) β , c ∈ R c \\alpha+(1-c) \\beta, c \\in \\mathbb{R} cα+(1−c)β,c∈R 均是 A x = b A \\mathbf{x}=\\mathbf{b} Ax=b 的解.
  • A ( β − α ) = 0 A(\\beta-\\alpha)=0 A(β−α)=0, 即 β − α \\beta-\\alpha β−α 是 A x = 0 A \\mathbf{x}=\\mathbf{0} Ax=0 的解.

因此 A x = b A \\mathrm{x}=\\mathrm{b} Ax=b 若超过一个解，则有无穷解. A x = b A \\mathbf{x}=\\mathbf{b} Ax=b 若有解 α \\alpha α, 则任意解 β ( A β = b ) \\beta(A \\beta=\\mathbf{b}) β(Aβ=b) 均满足 β ∈ { α + N ( A ) } \\beta \\in\\{\\alpha+N(A)\\} β∈{α+N(A)},其中 N ( A ) = { y ∣ A y = 0 } . N(A)=\\{\\mathbf{y} \\mid A \\mathbf{y}=\\mathbf{0}\\} . N(A)={y∣Ay=0}.

⟹ A x = 0 \\Longrightarrow A \\mathbf{x}=0 ⟹Ax=0 的解的情况:

 Case  1  只有零解   Case  2  有无穷解  \\begin{array}{ll}\\text { Case } 1 \\text { 只有零解 } & \\text { Case } 2 \\text { 有无穷解 }\\end{array}  Case 1 只有零解 ​ Case 2 有无穷解 ​

列空间

定 义 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义1} }} 定义1​ 关于 A x = b . A \\mathbf{x}=\\mathbf{b} . Ax=b. 相关联的有两类(子)空间. 设 A = ( 1 3 2 3 4 1 ) = ( α 1 → , α 2 → ) A=\\left(\\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 3 \\\\ 4 & 1\\end{array}\\right)=\\left(\\overrightarrow{\\alpha_{1}}, \\overrightarrow{\\alpha_{2}}\\right) A=⎝⎛​124​331​⎠⎞​=(α1​ ​,α2​ ​), 则 α 1 → \\overrightarrow{\\alpha_{1}} α1​ ​ 和 α 2 → \\overrightarrow{\\alpha_{2}} α2​ ​ 的全部线性组合是一个 R 3 \\mathbb{R}^{3} R3的子空间, 称为 A A A 的列空间(column space), 记作 C ( A ) C(A) C(A).

几何上，它是一张平面(过原点).

列空间的求解

例 1 \\Large\\color{violet}{例1} 例1
  A = ( 0 1 0 0 0 − 1 0 1 0 0 0 − 1 0 1 0 0 0 − 1 0 1 0 0 0 − 1 0 ) = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α 5 ) V = { c 1 α 1 + ⋯ + c 5 α 5 ∣ c i ∈ R } = { ( c 2 − c 1 + c 3 − c 2 + c 4 − c 3 + c 5 − c 4 ) ∣ c i ∈ R } = { ( b 1 ⋮ b 5 ) ∈ R 5 ∣ b 1 + b 3 + b 5 = 0 } = C ( A ) . \\begin{aligned} \\text { } & A=\\left(\\begin{array}{ccccc}0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\end{array}\\right)=\\left(\\alpha_{1}, \\alpha_{2}, \\cdots, \\alpha_{5}\\right) \\\\ V &=\\left\\{c_{1} \\alpha_{1}+\\cdots+c_{5} \\alpha_{5} \\mid c_{i} \\in \\mathbb{R}\\right\\}=\\left\\{\\left(\\begin{array}{c}c_{2} \\\\ -c_{1}+c_{3} \\\\ -c_{2}+c_{4} \\\\ -c_{3}+c_{5} \\\\ -c_{4}\\end{array}\\right) \\mid c_{i} \\in \\mathbb{R}\\right\\} \\\\ &=\\left\\{\\left(\\begin{array}{c}b_{1} \\\\ \\vdots \\\\ b_{5}\\end{array}\\right) \\in \\mathbb{R}^{5} \\mid b_{1}+b_{3}+b_{5}=0\\right\\}=C(A) . \\end{aligned}  V​A=⎝⎜⎜⎜⎜⎛​0−1000​10−100​010−10​0010−1​以上是关于31线性空间05——列空间和零空间维数的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

P6 列空间和零空间 线性代数

麻省理工公开课：线性代数 第6课 列空间和零空间

33线性空间07——四个基本子空间的基与维数

线性空间维度的公式是啥？

10-四个基本子空间

为啥一个矩阵的行空间和列空间的维相同