32线性空间06——行空间和左零空间
Posted 炫云云
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了32线性空间06——行空间和左零空间相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
- 线性空间01——线性空间、线性相关、线性无关、基和维数、极大线性无关
- 线性空间02——坐标、坐标变换与基变换、过度矩阵
- 线性空间03——子空间、子空间的交与和、生成子空间、 子空间的维数公式
- 线性空间04——子空间的直和、n个子空间的直和、直和分解、直和补
- 线性空间05——列空间和零空间、维数
- 线性空间06——行空间和左零空间
- 线性空间07——四个基本子空间的基与维数_
前面已经介绍了矩阵的零空间和列空间，它们都属于矩阵的四个基本子空间，基本子空间还包括行空间和左零空间。
召唤一个矩阵：
A
=
[
2
−
1
−
3
−
4
2
6
]
\\boldsymbol{A}=\\left[\\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -3 \\\\ -4 & 2 & 6 \\end{array}\\right]
A=[2−4−12−36]
为了找出零空间和列空间，先进行套路运算一一转换为行最简阶梯矩阵：
A
=
[
2
−
1
−
3
−
4
2
6
]
→
[
1
−
1
2
−
3
2
0
0
0
]
\\boldsymbol{A}=\\left[\\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -3 \\\\ -4 & 2 & 6 \\end{array}\\right] \\rightarrow\\left[\\begin{array}{ccc} 1 & -\\frac{1}{2} & -\\frac{3}{2} \\\\ 0 & 0 & 0 \\end{array}\\right]
A=[2−4−12−36]→[10−210−230]
只有一个主元，也就是仅有一个向量都是独立向量，列空间是:
C
(
A
)
=
span
(
[
2
−
4
]
)
=
span
(
[
1
−
2
]
)
C(A)=\\operatorname{span}\\left(\\left[\\begin{array}{c} 2 \\\\ -4 \\end{array}\\right]\\right)=\\operatorname{span}\\left(\\left[\\begin{array}{c} 1 \\\\ -2 \\end{array}\\right]\\right)
C(A)=span([2−4])=span([1−2])
这同时也意味着矩阵A的秩是1。矩阵的秩、列空间的基的向量数、独立向量数、主元数，这些都是一个意思。
再来看零空间，主元可以用另外两个自由元表示，这里用
x
2
x_{2}
x2 和
x
3
x_{3}
x3 表示
x
1
x_{1}
x1 : 以上是关于32线性空间06——行空间和左零空间的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
[
1
−
1
2
−
3
2
0
0
0
]
[
x
1
x
2
x
3
]
=
0
⇒
x
1
=
x
2
2
+
3
x
3
2
⇒
[
x
1
x
2
x
3
]
=
[
x
2
2
+
3
x
3
2
x
2
x
3
]
=
[
1
/
2
1
0
]
x
2
+
[
3
/
2
0
1
]
x
3
\\begin{array}{l} {\\left[\\begin{array}{ccc} 1 & -\\frac{1}{2} & -\\frac{3}{2} \\\\ 0 & 0 & 0 \\end{array}\\right]\\left[\\begin{array}{l} x_{1} \\\\ x_{2} \\\\ x_{3} \\end{array}\\right]=0 \\Rightarrow x_{1}=\\frac{x_{2}}{2}+\\frac{3 x_{3}}{2}} \\\\ \\Rightarrow\\left[\\begin{array}{l} x_{1} \\\\ x_{2} \\\\ x_{3} \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{c} \\frac{x_{2}}{2}+\\frac{3 x_{3}}{2} \\\\ x_{2} \\\\ x_{3} \\end{array}\\right]=\\left[\\begin{array}{c} 1 / 2 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{array}\\right] x_{2}+\\left[\\begin{array}{c} 3 / 2 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{array}\\right] x_{3} \\end{array}
[10−210−230]⎣⎡x1x2x3⎦⎤=0⇒x1=2x2+23x3⇒⎣⎡x1x2x3⎦⎤=⎣⎡2x2+23x3x2x3⎦⎤=⎣⎡1/210⎦⎤x2+⎣⎡3/201⎦⎤x3
A
A
A的零空间：
N
(
A
)
=
span
(
[
1
/
2
1
0