数据结构—— 图：最小生成树问题

Posted 大彤小忆

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数据结构—— 图：最小生成树问题相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

4. 最小生成树问题

4.1 什么是最小生成树

  一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。 最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或prim（普里姆）算法求出。

  最小生成树(Minimum Spanning Tree)： ■ 是一棵树
                       ⋄ 无回路
                       ⋄ |V|个顶点一定有|V|-1条边
                      ■ 是生成树
                       ⋄ 包含全部顶点
                       ⋄ |V|-1条边都在图里
                      ■ 边的权重和最小

  向生成树中任加一条边，都一定构成回路，如下图所示，左上角第一幅图是完全图，其他三幅图均为生成图。

在这里插入图片描述
  结论： 最小生成树存在 ↔ \\leftrightarrow ↔图连通。

4.2 贪心算法

  贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，算法得到的是在某种意义上的局部最优解 。

  ■ 什么是 “贪”：每一步都要最好的
  ■ 什么是 “好”：权重最小的边
  ■ 需要约束： ⋄ 只能用图里有的边
         ⋄ 只能正好用掉|V|-1条边
         ⋄ 不能有回路

4.2.1 Prim算法

  普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点，且其所有边的权值之和亦为最小。

  Prim算法，让一棵小树长大。核心思想：贪心思想，找到临近最短的就更新。

  Prim算法的步骤：

  • step1：在下图所示的图中，首先选择 v 1 v_{1} v1​作为根节点；

在这里插入图片描述

  • step2：寻找与 v 1 v_{1} v1​相关的边中权重最小的一条，即 v 1 v_{1} v1​和 v 4 v_{4} v4​之间的边，并将其结点 v 4 v_{4} v4​收录进来；

在这里插入图片描述

  • step3：寻找与 v 1 v_{1} v1​、 v 4 v_{4} v4​相关的边中权重最小的一条，即 v 1 v_{1} v1​和 v 2 v_{2} v2​之间的边，并将其结点 v 2 v_{2} v2​收录进来；

在这里插入图片描述

  • step4：寻找与 v 1 v_{1} v1​、 v 4 v_{4} v4​、 v 2 v_{2} v2​相关的边中权重最小的一条，即 v 4 v_{4} v4​和 v 3 v_{3} v3​之间的边，并将其结点 v 3 v_{3} v3​收录进来；

在这里插入图片描述

  • step5：寻找与 v 1 v_{1} v1​、 v 4 v_{4} v4​、 v 2 v_{2} v2​、 v 3 v_{3} v3​相关的边中权重最小的一条，即 v 4 v_{4} v4​和 v 7 v_{7} v7​之间的边，并将其结点 v 7 v_{7} v7​收录进来（不能将 v 2 v_{2} v2​和 v 4 v_{4} v4​、 v 1 v_{1} v1​和 v 3 v_{3} v3​之间的边收录进来，因为会构成一个回路）；

在这里插入图片描述

  • step6：寻找与 v 1 v_{1} v1​、 v 4 v_{4} v4​、 v 2 v_{2} v2​、 v 3 v_{3} v3​、 v 7 v_{7} v7​相关的边中权重最小的一条，即 v 7 v_{7} v7​和 v 6 v_{6} v6​之间的边，并将其结点 v 6 v_{6} v6​收录进来；

在这里插入图片描述

  • step7：寻找与 v 1 v_{1} v1​、 v 4 v_{4} v4​、 v 2 v_{2} v2​、 v 3 v_{3} v3​、 v 7 v_{7} v7​、 v 6 v_{6} v6​相关的边中权重最小的一条，即 v 7 v_{7} v7​和 v 5 v_{5} v5​之间的边，并将其结点 v 5 v_{5} v5​收录进来。

在这里插入图片描述
  Prim算法的代码如下所示。

void Prim ()
{ 
    MST= {s};
    while (1){
        V = 未收录顶点中dist最小者;
        if (这样的V不存在)
            break;
        将V收录进MST: dist[v]= 0 ;
        for ( V的每个邻接点W )
            if ( dist[W]!=0 )
                if (E(V,W)<dist[W]){
                    dist[W]=E(V,W);
                    parent[W]=V;
                }
    }
    if(MST中收的顶点不到|V|个)
        Error ("生成树不存在" );
}

  初始化： d i s t [ V ] = E ( s , V ) dist[V]=E_{(s,V)} dist[V]=E(s,V)​或正无穷
       parent[s] =-1

  Prim算法的时间复杂度： T = O ( ∣ V ∣ 2 ) T=O(|V|^{2}) T=O(∣V∣2)，对稠密图合算。

4.2.2 Kruskal算法

  克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法）是求连通网的最小生成树的另一种方法。与普里姆算法不同，它的时间复杂度为 O ( e l o g e ) O(eloge) O(eloge)（e为网中的边数），所以，适合于求边稀疏的网的最小生成树 。

  Kruskal算法，将森林合并成树。核心思想：不停地找权重最小的边合在一起，但需要注意的是，不能构成回路。如何找最小权重所在的边，可以靠最小堆来解决；如何判断是否构成回路，可以用并查集看是否属于同一棵树。

  Kruskal算法的步骤：