1523 D. Love-Hate(随机+枚举子集或SOSDP)

Posted 2021-06-22 issue是fw

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设答案子集为x,注意到有超过$\frac{n}{2}$(四舍五入)的人包括$x$

我们从$n$个人随机选出一个人,这个人包含$x$的概率大于等于$\frac{n}{2}$

多随机几次,意味着肯定随机到了参与答案的人。

比如随机到的人编号是$id$,那么只考虑这个人喜欢的货币子集,设这个人喜欢$l$种货币

于是把所有人抽象为只包含这$l$位的二进制数,这样的子集只有不多于$2^l$个

下面有两种做法

①.开桶枚举子集

开个桶,把每个人表示的数字存下来,此时数组$w[mask]$表示二进制数为$mask$有$w[mask]$个人

接下来令$x$从$0$枚举到$2^l$,然后枚举$x$的子集,让$x$的子集$mask$,$vis[mask]+=w[x]$

最后扫描一遍$vis$数组,就可以轻松判断是否大于等于$\frac{n}{2}$然后更新答案

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②.$\mathrm{S}\mathrm{O}\mathrm{S}\mathrm{D}\mathrm{P}$

现在我们只需要预处理一个$f[mask]$表示子集是$mask$的有多少人

这其实是个非常模板的$\mathrm{S}\mathrm{O}\mathrm{S}\mathrm{D}\mathrm{P}$问题,套用模板即可

总体复杂度$O(k\ast p\ast 2^p)$

其中$k$表示随机次数

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2e5+10;
char a[maxn][65],res[maxn];
int zhi[maxn],pos[70],bit[1<<16],f[1<<16],ans=-1,n,m,p;
mt19937 rnd(time(0));
void update(int id)
{
	pos[0] = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++)	zhi[i] = 0;
	for(int i=1;i<=m;i++)	if( a[id][i]=='1' )	pos[++pos[0]] = i;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=pos[0];j>=1;j--)
		zhi[i] = zhi[i]*2+( a[i][pos[j]]=='1' );
	int mx = ( 1<<pos[0] );
	for(int i=0;i<mx;i++)	f[i] = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++)	f[zhi[i]]++;
	for(int i=0;i<pos[0];i++)
	for(int j=0;j<mx;j++)
		if( !(j&(1<<i)) )	f[j] += f[j|(1<<i)];
	for(int i=0;i<mx;i++)
	{
		if( f[i]<(int)(n/2.0+0.5) || ans>=bit[i] )	continue;
		ans = bit[i];
		for(int j=1;j<=m;j++)	res[j] = '0';
		for(int j=0;j<pos[0];j++)
			if( (i>>j)&1 )	res[pos[j+1]] = '1';
	}
}
int main()
{
	for(int i=1;i<(1<<16);i++)	bit[i] = bit[i>>1]+(i&1);
	cin >> n >> m >> p;
	for(int i=1;i<=n;i++)	scanf("%s",a[i]+1 );	
	for(int i=1;i<=10;i++)
	{
		int id = rnd()%n+1;
		update( id );
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)	cout << res[i];
}