1523 E - Crypto Lights(期望+组合数学思维)

Posted 2021-06-22 issue是fw

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题意

$n$盏熄灭的灯,每次操作在熄灭的灯随机选择一盏灯打开

当任意连续$k$个灯至少有$2$盏灯被打开游戏结束

求游戏结束的期望操作次数。

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对于一个打开$w$盏灯结束游戏的方案,考虑分别计算它的$w$次贡献

分别是第$1,2,...w$次打开灯的贡献

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基于这样的思想,我们考虑枚举一个$p$表示当前点亮了$p$盏灯

考虑计算此时游戏没有终止的方案数记作$f$

那么对期望的贡献即为$f\ast \frac{p!}{n\ast (n-1)...\ast (n-p+1)}$

如何计算$f$呢??

这个问题的实质是,选出$p$盏灯点亮,使得任意两盏亮灯中间至少有$k-1$盏熄灭的灯

那么选出$p$盏灯点亮,其余熄灭的灯形成$p+1$个连通块

我们只需要考虑让中间$p-1$个连通块大小大于等于$k-1$即可(这样两端也必定满足)

相当于我们先从中抽出$(p-1)\ast (k-1)$盏灯,然后从剩下的灯任意选$p$盏灯

方案数为$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-(p-1)\ast (k-1)}{p}\right)$

可以这么想,假设现在只有$n-(p-1)\ast (k-1)$盏灯,从中选择$p$盏灯点亮

最后,在相邻两个被点亮的灯中间插入$k-1$盏熄灭的灯

于是,答案为

$$1+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-(p-1)\ast (k-1)}{p}\right)\ast \frac{p!}{n\ast (n-1)...\ast (n-p+1)}$$

注意不要忘了加$1$,因为对于任何一个操作次数为$w$的方案来说

我们只计算了它的前$w-1$步,没有计算最后那一步–终止的那一步

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2e6+10;
const int mod = 1e9+7;
#define int long long
int fac[maxn],n,m;
int quick(int x,int n)
{
	int ans = 1;
	for( ; n ; n>>=1,x=x*x%mod )
		if( n&1 )	ans = ans*x%mod;
	return ans;
}
int C(int n,int m)
{
	if( n<=0 || m>n )	return 0ll;
	return fac[n]*quick( fac[m]*fac[n-m]%mod,mod-2 )%mod;
}
signed main()
{
	fac[0] = 1;
	for(int i=1;i<=2000000;i++)	fac[i] = fac[i-1]*i%mod;
	int t; cin >> t;
	while( t-- )
	{
		int n,k; scanf("%lld%lld",&n,&k);
		int ans = 1;
    	for(int i=1;i<=n;i++)
		{	
			int f = C(n-(i-1)*(k-1),i );
			int p = fac[i]*quick( fac[n]*quick(fac[n-i],mod-2)%mod,mod-2 )%mod;
			ans = ( ans+f*p%mod )%mod;
		}
		cout << ans << endl;
	}
}