牛客 - Connie(AC自动机+dp/KMP+dp)

Posted 2021-06-21 Frozen_Guardian

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题目大意：给出一个匹配串 $s$，现在问模式串 $t$ 的期望得分。其中假设匹配串在模式串中的出现次数为 $x$，那么将得到 $2^x$ 的分数

题目分析：涉及到了期望一开始还以为是概率，后来发现其实就是个计数问题

题目实际让我们操作的就是，枚举 $5^n$ 种字符串，然后对于每种字符串统计匹配串 $s$ 的出现次数，注意这里的出现次数并不能说是最多或最少的出现次数，先将贡献的式子转换一下：
$2^x=(...((1)\ast 2)\ast 2)\ast 2...)\ast 2$

假设枚举的字符串 $t$ 中可以匹配一次 $s$ ，那么只需要将匹配次数相应的乘以二就可以实现上面的公式了，关于期望的话最后只需要除以 $5^n$ 就好啦

现在问题转换为了字符串计数问题，我的第一反应就是 $AC$ 自动机裸题啊，直接挂上模板过了，简单讲一下思路，就是将匹配串扔进 $AC$ 自动机里，$d{p}_{i,j}$ 代表到了字符串 $t$ 的第 $i$ 个位置时，在自动机里匹配的状态为 $j$ 的方案数，转移的话就是枚举第 $i+1$ 的字符记为 $ch$，方程就是：
$d{p}_{i+1,trie[j][ch]}+=dp[i][j]$

非常简单的过了，不过后续意识到是不是有点大材小用了？因为这个题目只有一个匹配串啊，为什么不直接用 $KMP$ 去写呢？然后就用 $KMP$ 也写了一发。。不过有一说一，对于失配状态转移的 $dp$，以后还是用自动机来写吧，因为相比之下 $KMP$ 的细节略多

代码：
AC自动机

// Problem: Connie
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/17148/D
// Memory Limit: 1048576 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=110;
const int mod=998244353;
const char str[]="conie";
char s[N];
LL dp[N][N];
int fail[N],flag[N],trie[N][26],cnt;
int newnode() {
	cnt++;
	for(int i=0;i<26;i++) {
		trie[cnt][i]=0;
	}
	flag[cnt]=false;
	return cnt;
}
void insert_word()
{
	int len=strlen(s);
	int pos=0;
	for(int i=0;i<len;i++)
	{
		int to=s[i]-'a';
		if(!trie[pos][to])
			trie[pos][to]=newnode();
		pos=trie[pos][to];
	}
	flag[pos]=true;
}
void getfail()
{
	queue<int>q;
	for(int i=0;i<26;i++)
	{
		if(trie[0][i])
		{
			fail[trie[0][i]]=0;
			q.push(trie[0][i]);
		}
	}
	while(!q.empty())
	{
		int cur=q.front();
		q.pop();
		for(int i=0;i<26;i++)
		{
			if(trie[cur][i])
			{
				fail[trie[cur][i]]=trie[fail[cur]][i];
				q.push(trie[cur][i]);
			}
			else
				trie[cur][i]=trie[fail[cur]][i];
		}
	}
}
LL q_pow(LL a,LL b) {
	LL ans=1;
	while(b) {
		if(b&1) {
			ans=ans*a%mod;
		}
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int n,m;
	read(n),read(m);
	scanf("%s",s);
	insert_word();
	getfail();
	dp[0][0]=1;
	for(int i=0;i<n;i++) {
		for(int j=0;j<=cnt;j++) {
			for(int k=0;k<5;k++) {
				int nj=trie[j][str[k]-'a'];
				dp[i+1][nj]=(dp[i+1][nj]+dp[i][j]*(flag[nj]?2:1))%mod;
			}
		}
	}
	LL ans=0;
	for(int i=0;i<=cnt;i++) {
		ans=(ans+dp[n][i])%mod;
	}
	ans=(ans*q_pow(q_pow(5,n),mod-2))%mod;
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

KMP：

// Problem: Connie
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/17148/D
// Memory Limit: 1048576 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
const int mod=998244353;
const char str[]="conie";
char s[N];
int nt[N];
void get_next() {
	int len=strlen(s+1);
	nt[1]=0;
	for(int i=2,j=0;i<=len;i++) {
		while(j!=0&&s[j+1]!=s[i]) {
			j=nt[j];
		}
		if(s[j+1]==s[i]) {
			j++;
		}
		nt[i]=j;
	}
}
LL dp[110][110];
LL q_pow(LL a,LL b) {
	LL ans=1;
	while(b) {
		if(b&1) {
			ans=ans*a%mod;
		}
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int以上是关于牛客 - Connie(AC自动机+dp/KMP+dp)的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
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