CodeForces - 1523E Crypto Lights(组合数学+推公式)

Posted 2021-06-21 Frozen_Guardian

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题目大意：给出 $n$ 个初始时熄灭的灯泡，每次操作会等概率打开一个灯泡，当每 $k$ 个连续的灯泡中出现了大于一个亮着的灯泡时停止操作，问期望操作次数是多少

题目分析：组合数学题留给队友补了，只是想解释一下这个模型，转换的过程借用洛谷大牛的题解了（侵权删）
主要是想讲一下最后这个 “经典模型” ，其中 $P_i$ 为操作 $i$ 次后，还没有结束的方案数。可以这样考虑，因为任意两个灯泡之间需要间隔为 $k$，所以放 $i$ 个灯泡两两之间需要有 $i-1$ 个隔板隔开，而每个隔板需要用 $k-1$ 个灯泡去充当，这样对于剩下的 $n-(i-1)\ast (k-1)$ 个灯泡而言就可以随便选 $i$ 个了，然后再用 $i-1$ 个隔板将其隔开就一定合法了

这也就对应着前半段的 $C_{n-(i-1)\ast (k-1)}^i$ 了

对于后半段的贡献可以这样考虑，假如从一开始 $n$ 个灯泡开始选 $i$ 个，依次选中的概率分别是 { 1 n , 1 n − 1 , 1 n − 2 , . . . , 1 n − i + 1 } \\{\\frac{1}{n},\\frac{1}{n-1},\\frac{1}{n-2},...,\\frac{1}{n-i+1}\\} {n1​,n−11​,n−21​,...,n−i+11​}，累乘起来就是 $\frac{(n-i)!}{n!}$，又因为选择 $i$ 个灯泡的次序可以随意，所以还需要乘以 $i!$，所以后半段的贡献就是 $\frac{i!(n-i)!}{n!}$ 了

对于本题需要注意的是，如果将 $P_i$ 的 $i=0$ 代入，整个式子是 $1$，也就是答案初始化的数值了

代码：

// Problem: E. Crypto Lights
// Contest: Codeforces - Deltix Round, Spring 2021 (open for everyone, rated, Div. 1 + Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1523/problem/E
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 3000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
const int mod=1e9+7;
LL fac[N],inv[N];
LL q_pow(LL a,LL b) {
	LL ans=1;
	while(b) {
		if(b&1) {
			ans=ans*a%mod;
		}
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
void init() {
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<N;i++) {
		fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	}
	inv[N-1]=q_pow(fac[N-1],mod-2);
	for(int i=N-2;i>=0;i--) {
		inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
	}
}
LL C(int n,int m) {
	return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	init();
	int w;
	cin>>w;
	while(w--) {
		int n,k;
		read(n),read(k);
		LL ans=1;
		for(int i=1;n-(i-1)*(k-1)>=i;i++) {
			ans=(ans+C(n-(i-1)*(k-1),i)*q_pow(C(n,i),mod-2))%mod;
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}