CodeForces - 1491C Pekora and Trampoline(差分+贪心)

Posted 2021-06-21 Frozen_Guardian

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题目大意：给出一个长度为 $n$ 的序列 $a$，$a_i$ 表示第 $i$ 个蹦床的强度，当从第 $i$ 个蹦床起跳的话可以跳到 $i+a_i$ 的位置，但是相应的第 $i$ 个蹦床的强度会减少一，更具体的来说，假如在蹦床 $i$ 起跳后，会有 $a_i=max(a_i-1,1)$。问最小需要多少次弹跳，才能使得所有的蹦床强度都等于 $1$

题目分析：口胡了一个 $n^2$ 的算法，交了一发之后发现会被卡成 $n^3$，看了看题解发现大家都是 $O(n)$ 写的。。拉低了全网的平均水平我真的很抱歉 orz

因为蹦床只能从前往后蹦，所以考虑从前往后贪心，假设 $i$ 位置为 $a_i$，为了让 $a_i$ 变成 $1$，肯定是需要直接或间接 $a_i-1$ 次以点 $i$ 为起点开始往后跳的，而从 $i$ 为起点的话，那么 $[i+2,min(n,i+a_i)]$ 这一段区间的蹦床会间接成为一次起点

考虑模拟上述过程，因为数据范围允许 $O(n^2)$，所以可以直接暴力更新所有间接当作起点的位置，当到达某个位置 $i$ 后，分两种情况讨论一下即可，假设 $cn{t}_i$ 为点 $i$ 间接当做起点的次数

1. 点 $i$ 间接成为起点的次数已经将 $a_i$ 变成 $1$ 了，即 $delt{a}_i>=a_i-1$ 此时点 $i$ 不用当直接起点，而多出来的部分会因为 $a_i$ 早就变成了 $1$ 从而继承到了 $a_{i+1}$ 的位置去
2. 点 $i$ 还需要作为直接起点才行，更具体的来说，还需要作为 $a_i-1-delt{a}_i$ 次直接起点才行，将这些贡献计入答案即可

上述是 $O(n^2)$ 的做法，考虑到瓶颈在于区间更新，所以可以用差分代替，直接用前缀和平推过去就好啦，最后时间复杂度优化成了 $O(n)$

代码：

// Problem: C. Pekora and Trampoline
// Contest: Codeforces - Codeforces Global Round 13
// URL: https://codeforces.com/contest/1491/problem/C
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
LL a[N],delta[N];
void add(int l,int r,int val) {
	if(l>r) {
		return;
	}
	delta[l]+=val;
	delta[r+1]-=val;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int w;
	cin>>w;
	while(w--) {
		int n;
		read(n);
		memset(delta,0,sizeof(LL)*(n+5));
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			read(a[i]);
		}
		LL ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			delta[i]+=delta[i-1];
			if(delta[i]<a[i]-1) {//不够
				ans+=(a[i]-1)-delta[i];
			} else {//够了
				add(i+1,i+1,delta[i]-(a[i]-1));
			}
			add(i+2,min(1LL*n,i+a[i]),1);
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}