[CF1503D]Flip the Cards

Posted 2021-06-20 Tan_tan_tann

Flip the Cards

题解

首先很容易发现，如果有一张牌的$a,b$同时大于$n$，就肯定是无解的。
由于每个数字只会出现一次，如果这样的话就肯定存在一张牌的$a,b$同时小于$n$，这两张牌之间无论以什么顺序都无法满足条件。
所以我们得到的牌必定有一面$⩽n$，有一面$>n$，我们不妨设$a⩽n,b>n$。
于是我们必定得到的排列必定是这样一种形式，前面一部分正面小于等于$n$，反面大于$n$，后面一部分正面大于$n$，反面小于等于$n$。
我们可以把这两部分拆开，相当于就是两个$a$递增，$b$递减的序列，将其中一个序列翻转后拼到一起。
于是我们相当于就是将所有的牌划分成两个序列，并使它们需要翻转的次数最小。

关于划分序列我们有一个比较常见的贪心，我们可以将所有牌按照$a$排序后，每次将当前牌放入它能放入的栈顶较小的一个栈，如果它比两个栈都大，那就可以判无解了。
但这样并不能说明我们的操作一定在权值上是最优的，于是我们有下面一个性质。
如果$mi{n}_{j=1}^i{b}_j⩾ma{x}_{j=i+1}^n{b}_j$，那么我们之前的划分方法对后面的划分是不会产生影响的，由于之后的序列无论如何划分，都是可以接在之前划分好的两个序列中间的。
所以此时我们可以将之前划分好的序列先计入答案，再来划分之后的序列。
于是我们就可以说明我们的划分是唯一的，对答案造成影响的就只有选择哪一个序列翻转了，这个取翻转后对答案贡献最小的即可。

时间复杂度$O\left(n\right)$，明显可以使用桶排。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 200005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define fir first
#define sec second
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
const LL INF=1000000000000LL;
const LL mo=1e9+7;
const LL inv2=5e8+4;
const LL jzm=2333;
const double Pi=acos(-1.0);
typedef pair<int,int> pii;
const double PI=acos(-1.0);
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
	x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0){x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
int n,tp1,tp2,sum1,sum2,tot1,tot2,maxx[MAXN],ans;
struct ming{int f,w;}s[MAXN];
signed main(){
	read(n);bool flag=0;
	for(reg int i=1;i<=n;i++){
		int x,y,w=0;read(x);read(y);if(x>y)swap(x,y),w=1;
		flag|=(x>n);if(x<=n)s[x]=(ming){y,w};
	}
	if(flag){puts("-1");return 0;}
	tp1=tp2=2*n+1;sum1=sum2=tot1=tot2=0;
	for(reg int i=n;i>0;i--)maxx[i]=max(maxx[i+1],s[i].f);
	for(reg int i=1;i<=n;i++){
		if(s[i].f<tp1)tp1=s[i].f,tot1++,sum1+=s[i].w;
		else if(s[i].f<tp2)tp2=s[i].f,tot2++,sum2+=s[i].w;
		else{puts("-1");return 0;}
		if(min(tp1,tp2)>maxx[i+1]){
			ans+=min(sum1+tot2-sum2,sum2+tot1-sum1);
			sum1=sum2=tot1=tot2=0;tp1=tp2=2*n+1;
		}
	}
	printf("%d\\n",ans);
	return 0;
}

谢谢！！！