[CF1523E]Crypto Lights
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了[CF1523E]Crypto Lights相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
Crypto Lights
题目大意
给你一个长度为 n n n的 0 / 1 0/1 0/1序列，最开始全都为 0 0 0。你将一直执行下列操作：
- 从为 0 0 0的点中等概率选择一个点，将其变为 1 1 1。
- 如果有两个为 1 1 1的点之间距离小于 k k k，则停止操作，否则继续执行上面的操作。
请问你执行停止后序列中 1 1 1的期望个数。 ( 2 ⩽ k ⩽ n ⩽ 1 0 5 ) (2\\leqslant k\\leqslant n\\leqslant 10^5) (2⩽k⩽n⩽105)
题解
先吐槽一下这题意真的很难懂，我读错了
3
3
3次。
法一
我们可以发现
E
(
N
u
m
b
e
r
o
f
1
′
s
o
c
c
u
r
r
e
n
c
e
s
)
=
E
(
t
i
m
e
s
w
h
i
l
e
s
t
o
p
)
=
E
(
t
i
m
e
s
b
e
f
o
r
e
s
t
o
p
)
+
1
E(Number\\,of\\,1's\\,occurrences)=E(times\\,while\\,stop)=E(times\\, before\\,stop)+1
E(Numberof1′soccurrences)=E(timeswhilestop)=E(timesbeforestop)+1。
我们可以去寻找在停止之前操作了多少次。
假设我们已经操作了
p
p
p次，那么我们现在有
p
p
p个
1
1
1，而每两个
1
1
1之间至少有
k
−
1
k-1
k−1个
0
0
0，总共有
(
p
−
1
)
(
k
−
1
)
(p-1)(k-1)
(p−1)(k−1)个
0
0
0。
我们将这
(
p
−
1
)
(
k
−
1
)
(p-1)(k-1)
(p−1)(k−1)个
0
0
0去掉，我们之后相当于从剩
n
−
(
p
−
1
)
(
k
−
1
)
n-(p-1)(k-1)
n−(p−1)(k−1)个位置中选择
k
k
k个为
1
1
1，再将那
(
p
−
1
)
(
k
−
1
)
(p-1)(k-1)
(p−1)(k−1)个
0
0
0插入两个不同位置的
1
1
1中间的空隙中。可以发现，这样与合法的方案是一一对应的。
于是，我们选择
p
p
p个数时未停止的方案数为
(
n
−
(
p
−
1
)
(
k
−
1
)
p
)
p
!
\\binom{n-(p-1)(k-1)}{p}p!
(pn−(p−1)(k−1))p!，而每种方案的概率为
(
n
−
i
)
!
n
!
\\frac{(n-i)!}{n!}
n!(n−i)!。
所以我们的期望的操作次数为
∑
i
=
1
n
(
n
−
(
i
−
1
)
(
k
−
1
)
i
)
i
!
(
n
−
i
)
!
n
!
\\sum_{i=1}^{n}\\frac{\\binom{n-(i-1)(k-1)}{i}i!(n-i)!}{n!}
∑i=1nn!(in−(i−1)(k−1))i!(n−i)!。
加上
1
1
1就是最后的答案。
法二
或者我们可以直接考虑在什么时候停止，还是可以用上面的方法退出选择
i
i
i个数时未停止的方案数为
(
n
−
(
i
−
1
)
(
k
−
1
)
i
)
i
!
\\binom{n-(i-1)(k-1)}{i}i!
(in−(i−1)(k−1))i!，记作
g
i
g_{i}
gi。
那么选择
i
i
i个时已停止的方案数为
(
n
−
i
+
1
)
d
p
i
−
1
−
d
p
i
(n-i+1)dp_{i-1}-dp_{i}
(n−i+1)dpi−1−dpi。
答案为
∑
i
=
1
n
(
(
n
−
i
+
1
)
d
p
i
−
1
−
d
p
i
)
(
n
−
i
)
!
n
!
\\sum_{i=1}^{n}((n-i+1)dp_{i-1}-dp_{i})\\frac{(n-i)!}{n!}
∑i=1n((n−i+1)dpi−1−dpi)n!(n−i)!
其实两种做法本质上是一样的。
时间复杂度都是 O ( n ) O\\left(n\\right) O(n)。
源码
法一
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 200005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
const LL INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int mo=1e9+7;
const int zero=500;
const LL jzm=2333;
const int orG=3,invG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
typedef pair<int,int> pii;
const double PI=acos(-1.0);
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
_T f=1;x=0;char s=getchar();
while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0){x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
int add(int x,int y){return x+y<mo?x+y:x+y-mo;}
int t,n,k,pow2[MAXN],fac[MAXN],f[MAXN],inv[MAXN],ans;
int qkpow(int a,int s){int t=1;while(s){if(s&1)t=1ll*a*t%mo;a=1ll*a*a%mo;s>>=1;}return t;}
void init(){
pow2[0]=1;for(int i=1;i<=1e5;i++)pow2[i]=2ll*pow2[i-1]%mo;
fac[0]=fac[1]=f[1]=inv[0]=inv[1]=1;
for(int i=2;i<=1e5;i++)
fac[i]=1ll*i*fac[i-1]%mo,
f[i]=1ll*以上是关于[CF1523E]Crypto Lights的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章