母函数GeneratingFunction
Posted Chivas_/Regal
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了母函数GeneratingFunction相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
思考问题：
如果有10种不同颜色的球各一个，从中取两个，不同的取球方案是多少？
简单的排列组合问题，很轻松就能 C 10 2 C_{10}^2 C102 = 45
但如果换一种问题，有面值1、2、3、4、5、…、99、100元的硬币各一枚，那么有多少种组成方案？
😄普通型母函数
📕前置芝士
🎈幂相乘
幂次相乘 = 指数相加
x
a
∗
x
b
=
x
a
+
b
x^{a} * x^{b} = x^{a + b}
xa∗xb=xa+b
🎈Hash
将某个数存入某个地址内从而完成某种映射关系，并可以
O
(
1
)
O(1)
O(1)的时间内查找到和进行操作
母函数算法某种程度上利用了hash的，了解hash可以更深刻地理解该算法
Hash传送门
📕概述
🎈概念 & 用处
母函数分为普通型母函数与指数型母函数
普通型母函数用于解决多重集的组合问题
指数型母函数用于解决多重集的排列问题
在某种意义上可以联系起来背包问题进行思考
两者有互通之处但同时又能解决两种不同的问题
我们定义一个序列
a
0
、
a
1
、
a
2
、
.
.
.
a_0、a_1、a_2、...
a0、a1、a2、...并构造一函数
G
x
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
G_x = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ...
Gx=a0+a1x+a2x2+...
则称
G
x
G_x
Gx是序列
a
0
、
a
1
、
a
2
、
.
.
.
a_0、a_1、a_2、...
a0、a1、a2、...的母函数
同时如果已知函数
G
x
=
(
1
+
x
)
2
G_x = (1 + x)^2
Gx=(1+x)2
则在展开后可以得到
G
x
=
1
+
2
x
+
x
2
G_x = 1 + 2x + x^2
Gx=1+2x+x2
则有该函数是序列
1
、
2
、
1
1、2、1
1、2、1的母函数
🎈构造表示
例如我们规定：有1元硬币，3元硬币，5元硬币，问都可以构造出来什么数值
我们利用以下规则：
每一种硬币都为一个小括号内的多项式
同时将硬币面值x作为指数（从0开始，x1，x2，…）
在这里我们构建1元硬币的多项式：
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
x
4
+
x
5
+
.
.
.
1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + ...
1+x+x2+x3+x4+x5+...，
我们能很轻松发现1元硬币能构造出的数值为0、1、2、3、4、5、…
构建3元硬币的多项式：
1
+
x
3
+
x
6
+
x
9
+
.
.
.
1 + x^3 + x^6 + x^9 + ...
1+x3+x6+x9+...，
我们可以发现3元硬币构造出的数值为0、3、6、…
构建五元硬币的多项式：
1
+
x
5
+
x
10
+
.
.
.
.
1 + x^5 + x^{10} + ....
1+x5+x10+....，
得到数值0、5、10、…
在得到所有硬币能构造出来的数值时，我们利用这几个多项式相乘
(
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
x
4
+
x
5
+
.
.
.
)
∗
(
1
+
x
3
+
x
6
+
x
9
+
.
.
.
)
∗
(
1
+
x
5
+
x
10
+
.
.
.
.
)
=
1
+
x
1
+
x
2
+
2
x
3
+
2
x
4
+
3
x
5
+
4
x
6
+
4
x
7
+
5
x
8
+
6
x
9
+
7
x
10
+
.
.
.
.
.
(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + ...) * (1 + x^3 + x^6 + x^9 + ...) * (1 + x^5 + x^{10} + ....) = 1 + x^1 + x^2 + 2x^3 + 2x^4 + 3x^5 + 4x^6 + 4x^7 + 5x^8 + 6x^9 + 7x^{10} + .....
(1+x+x2+x3+x4+x5+...)∗(1+x3+x6+x9+...)∗(1+x5+x10+....)=1+x1+x2+2x3+2x4+3x5+4x6+4x7+5x8+6x9+7x10+.....
b
x
a
bx^a
bxa表示有b种不同的方法能构造出来数值a
其中每一种情况都能有对应的结果，但同时不同的情况构造出来同样的数值时，这两种情况又会累加，所以我们可以得到都能构建出什么数值，与构建出来某种数值有几种方法
🎈过程
建立两个数组c1，c2，c1i表示前面括号合并后指数i的系数，c2i表示下一个准备合并的括号的指数i的系数
1.初始化第一个多项式
2.多项式两两合并（括号的合并）{
数值映射累加给c2，c2[第一个括号某个指数 + 第二个括号某个指数] += c1[第一个括号某个指数]
c2的值赋给c1，c2清空
}
📕程序实现
const int maxn=10000;
int c1[maxn + 1];//c1[i]表示母函数第一个小括号内的表达式中，指数为i的系数
int c2[maxn + 1];//第二个的系数（职业备胎（狗头））
int main(){
int n;//组合出来n
while(cin >> n)
{
memset(c1, 0, sizeof(c1));
memset(c2, 0, sizeof(c2));
for(int i = 0; i <= n; i += elem[1]) c1[i] = 1;//对第一个括号的内容进行赋1
//=========================================主体
for(int i = 2; i <= n; i ++)//做n-1趟前两括号合并
{
for(int j = 0; j <= n; j ++)//第1个括号
{
for(int k = 0; k + j <= n; k += elem[i])//第2个括号，(k+=i)是因为下一个括号指数会+=i
c2[j + k] += c1[j];//合并后系数相加，要继承一下上一个
}
for(int j = 0; j <= n; j ++)//替换一下第一个括号数组，初始化下一个括号数组
{
c1[j] = c2[j];
c2[j] = 0;
}
}
//=============================================
cout << c1[n] << endl;//此时就剩一个括号，c1[n]即为合并结束后的n次方系数
}
}
😄指数型母函数
思考：
考虑n个元素组成的多重集，其中a[1]重复了n[1]次，a[2]重复了n[2]次，…，a[k]重复了n[k]次，n = n[1] + n[2] + … + n[k]。
现在从中取r个进行排列，求不同的排列数
解：若r = n，即考虑n个元素的全排列，则以上是关于母函数GeneratingFunction的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章