代数62 ----二次曲面的分类
Posted 炫云云
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了代数62 ----二次曲面的分类相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
二次曲面方程：
F ( x , y , z ) = a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2 a 12 x y + 2 a 13 x z + 2 a 23 y z + 2 a 1 x + 2 a 2 y + 2 a 3 z + a 0 = 0 \\begin{aligned} F(x, y, z) &=a_{11} x^{2}+a_{22} y^{2}+a_{33} z^{2}+2 a_{12} x y+2 a_{13} x z+2 a_{23} y z \\\\ &+2 a_{1} x+2 a_{2} y+2 a_{3} z+a_{0}=0 \\end{aligned} F(x,y,z)=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a1x+2a2y+2a3z+a0=0
回顾：通过空间直角坐标变换, 能把二次曲面方程化为标准方程,从而快速判定二次曲面的图形 .
问题1：二次曲面的图形有哪几种 ？
问题2：什么是二次曲面关于坐标变换的不变量 ?如何根据二次曲面方程判定其图形 ?
二次项系数矩阵的特征多项式
f ( λ ) = ∣ λ I − A ∣ = ∣ λ − a 11 − a 12 − a 13 − a 21 λ − a 22 − a 23 − a 31 − a 32 λ − a 33 ∣ = λ 3 − I 1 λ 2 + I 2 λ − I 3 \\begin{array}{l} f(\\lambda)=|\\lambda I-A|=\\left|\\begin{array}{ccc} \\lambda-a_{11} & -a_{12} & -a_{13} \\\\ -a_{21} & \\lambda-a_{22} & -a_{23} \\\\ -a_{31} & -a_{32} & \\lambda-a_{33} \\end{array}\\right|=\\lambda^{3}-I_{1} \\lambda^{2}+I_{2} \\lambda-I_{3} \\\\ \\end{array} f(λ)=∣λI−A∣=∣∣∣∣∣∣λ−a11−a21−a31−a12λ−a22−a32−a13−a23λ−a33∣∣∣∣∣∣=λ3−I1λ2+I2λ−I3
其中
I
1
=
tr
(
A
)
=
a
11
+
a
22
+
a
33
I
2
=
∣
a
11
a
12
a
21
a
22
∣
+
∣
a
11
a
13
a
31
a
33
∣
+
∣
a
22
a
23
a
32
a
33
∣
=
a
11
a
22
+
a
11
a
33
+
a
22
a
33
−
(
a
12
2
+
a
13
2
+
a
23
2
)
I
3
=
∣
A
∣
\\begin{array}{cc} \\quad I_{1}=\\operatorname{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33} \\\\ I_{2}=\\left|\\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22} \\end{array}\\right|+\\left|\\begin{array}{cc} a_{11} & a_{13} \\\\ a_{31} & a_{33} \\end{array}\\right|+\\left|\\begin{array}{cc} a_{22} & a_{23} \\\\ a_{32} & a_{33} \\end{array}\\right| \\\\ =a_{11} a_{22}+a_{11} a_{33}+a_{22} a_{33}-\\left(a_{12}^{2}+a_{13}^{2}+a_{23}^{2}\\right) \\\\ I_{3}=|A| \\end{array}
I1=tr(A)=a11+a22+a33I2=∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣+∣∣∣∣a11a31a13a33∣∣∣∣+∣∣∣∣a22a32以上是关于代数62 ----二次曲面的分类的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章