代数51 ----锥面及其方程
Posted 炫云云
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了代数51 ----锥面及其方程相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
圆锥面的方程
圆锥面可以视为动点与定直线上某定点（顶点)的连线始终与该定直线（对称轴)交成等角（半顶角)的几何轨迹．
曲面 S : z 2 = c o t 2 φ ( x 2 + y 2 ) S:z^2= cot^2\\varphi (x^2+y^2) S:z2=cot2φ(x2+y2) 表示顶点在原点， z z z轴为对称轴，半顶角为 φ \\varphi φ 的圆锥面
曲面 S : z 2 = ( x 2 + y 2 ) S:z^2=(x^2+y^2) S:z2=(x2+y2) 表示顶点在原点，对称轴为 z z z轴，半顶角为 π 4 \\frac{\\pi}{4} 4π 的圆锥面﹒
圆锥面
可看成两条相交而不垂直的直线, 其中 一条绕另一条旋转而成. 运动那条直线称为圆锥面的母线; 另一条直线称为圆锥面的轴; 母线与轴线的交点称为圆锥面的顶点; 母线与轴线的夹角称为圆锥面的半顶角.
垂直于对称轴的平面截圆锥面所得交线 𝐶 为圆 .圆锥面也可以视为圆周 𝐶 上的点与顶点 𝑂 的连线L组成的曲面．
曲线 𝐶 称为曲面 𝑆 的准线，动直线 L 称为曲面 𝑆 的母线 .
一般圆锥面的方程
已知圆锥面的顶点为
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
M_0(x_0, y_0,z_0)
M0(x0,y0,z0) ,对称轴方向向量为
v
=
(
m
,
n
,
p
)
v= (m,n,p)
v=(m,n,p) ，半顶角为
φ
\\varphi
φ 则动点
M
(
x
,
y
,
z
)
M(x, y,z)
M(x,y,z)在圆锥面上的充分必要条件是
∣
c
o
s
⟨
M
0
M
→
,
v
⟩
∣
=
∣
c
o
s
φ
∣
\\begin{vmatrix} cos \\left \\langle {\\overrightarrow{M_0M}} ,v \\right \\rangle \\end{vmatrix}= |cos \\varphi |\\\\
∣∣∣cos⟨M0M,v⟩∣∣∣=∣cosφ∣
化简整理得圆锥面方程 .
准线+顶点
准线 { x 2 + y 2 = 1 z = 1 \\left\\{\\begin{array}{c}x^{2}+y^{2}=1 \\\\ z=1\\end{array}\\right. {x2+y2=1z=1 顶点 O ( 0 , 0 , 0 ) O(0,0,0) O(0,0,0)
锥面上任意一点
M
(
x
,
y
,
z
)
M(x, y, z)
M(x,y,z) 定在准线上的某点
M
1
M_{1}
M1 和顶点A的连线上,圆锥面的方程为：
{
x
1
2
+
y
1
2
=
1
z
1
=
1
x
−
0
x
1
−
0
=
y
−
0
y
1
−
0
=
z
−
0
z
1
−
0
\\left\\{\\begin{array}{c} x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=1 \\\\ z_{1}=1 \\\\ \\frac{x-0}{x_{1}-0}=\\frac{y-0}{y_{1}-0}=\\frac{z-0}{z_{1}-0} \\\\ \\end{array}\\right.
⎩⎨⎧x12+y12=1z1=1x1−0x−0=y1−0y−0=z1−0z−0
所以
(
x
z
)
2
+
(
y
z
)
2
=
1
x
2
+
y
2
=
z
2
\\left(\\frac{x}{z}\\right)^{2}+\\left(\\frac{y}{z}\\right)^{2}=1 \\\\ x^{2}+y^{2}=z^{2}
(zx)2+(zy)2=1x2+y2=z2
顶点+轴+半顶角
锥面上任意一点
M
(
x
,
y
,
z
)
M(x, y, z)
M(x,y,z) 与顶点的连线 和轴的夹角, 一定等于半顶角
cos
π
4
=
∣
(
x
−
0
,
y
−
0
,
z
−
0
)
(
0
,
0
,
1
)
∣
∣
(
x
−
0
,
y
−
0
,
z
−
0
)
∣
∣
(
0
,
0
,
1
)
∣
\\begin{array}{c} \\cos \\frac{\\pi}{4}=\\frac{|(x-0, y-0, z-0)(0,0,1)|}{|(x-0, y-0, z-0)||(0,0,1)|} \\\\ \\end{array}
cos4π=∣(x−0,y−0,z−0)∣∣(0,0,1)∣∣(x−0,y−0,z−0)(0,0,1)∣
所以
1
2
=
∣
z
∣
x
2
+
y
2
+
z
2
x
2
+
y
2
=
z
2
\\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{|z|}{\\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \\\\ x^{2}+y^{2}=z^{2}
21=x2+[从头学数学] 第235节 空间解析几何与向量代数