代数54 ----直纹面
Posted 炫云云
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了代数54 ----直纹面相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
柱面和锥面都是由直线生成的曲面
柱面 :平行于 𝐿 的直线沿曲线 𝐶 平行移动
锥面:过点 𝑀 0 𝑀_0 M0的直线沿曲线 𝐶 滑动
这些曲面是否由直线生成 ？
球面不是直纹面
旋转单叶双曲面是直纹面？
双曲抛物面是直纹面？
直纹面及其参数方程
定 义 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义 } }} 定义 称曲面S为直纹面，如果存在一族直线，使得
(1)这一族中每一条直线全在S上;
(2)S上每一个点都在这一族的某条直线上.
称这族直线为曲面S的一族直母线.
在直纹面S上取一条曲线C，
若C与所有的直母线都相交，则称曲线C为直纹面S的准线.
$\\Large\\color{violet}{注:} $柱面、锥面都是直纹面.
**直纹面的参数方程 **
已知直纹面
S
S
S 的准线
C
C
C 的参数方程为
C
:
r
=
ρ
(
u
)
=
(
ρ
1
(
u
)
,
ρ
2
(
u
)
,
ρ
3
(
u
)
)
C: \\boldsymbol{r}=\\boldsymbol{\\rho}(u)=\\left(\\rho_{1}(u), \\rho_{2}(u), \\rho_{3}(u)\\right)
C:r=ρ(u)=(ρ1(u),ρ2(u),ρ3(u))
设
M
(
x
,
y
,
z
)
M(x, y, z)
M(x,y,z) 是直纹面
S
S
S 上的动点, 过点M的
直母线
L
L
L 交准线
C
C
C 于点
N
(
ρ
1
(
u
)
,
ρ
2
(
u
)
,
ρ
3
(
u
)
)
N\\left(\\rho_{1}(u), \\rho_{2}(u), \\rho_{3}(u)\\right)
N(ρ1(u),ρ2(u),ρ3(u)) 设该直母线
L
L
L 的方向向量为
τ
(
u
)
=
(
τ
1
(
u
)
,
τ
2
(
u
)
,
τ
3
(
u
)
)
\\boldsymbol{\\tau}(u)=\\left(\\tau_{1}(u), \\tau_{2}(u), \\tau_{3}(u)\\right)
τ(u)=(τ1(u),τ2(u),τ3(u)), 则
N
M
→
=
v
τ
(
u
)
\\overrightarrow{N M}=v \\boldsymbol{\\tau}(u)
NM=vτ(u)
于是直纹面的向量式方程为
S
:
r
(
u
,
v
)
=
ρ
(
u
)
+
v
τ
(
u
)
S: \\boldsymbol{r}(u, v)=\\boldsymbol{\\rho}(u)+v \\boldsymbol{\\tau}(u)
S:r(u,v)=ρ(u)+vτ(u)
直纹面的向量式方程 S : r ( u , v ) = ρ ( u ) + v τ ( u ) \\text { 直纹面的向量式方程 } \\quad S: \\boldsymbol{r}(u, v)=\\boldsymbol{\\rho}(u)+v \\boldsymbol{\\tau}(u) 直纹面的向量式方程 S:r(u,v)=ρ(u)+vτ(u)
$\\text { 特别, 当 } \\boldsymbol{\\rho}(u)=\\boldsymbol{\\rho}_{0}, S \\text { 表示锥面 }\\$
$\\text { 当 } \\tau(u)=\\tau_{0}, \\quad S \\text { 表示柱面 } .\\$
直纹面的参数方程
S
:
{
x
=
ρ
1
(
u
)
+
v
τ
1
(
u
)
y
=
ρ
2
(
u
)
+
v
τ
2
(
u
)
z
=
ρ
3
(
u
)
+
v
τ
3
(
u
)
\\text { 直纹面的参数方程 } \\quad S:\\left\\{\\begin{array}{l} x=\\rho_{1}(u)+v \\tau_{1}(u) \\\\ y=\\rho_{2}(u)+v \\tau_{2}(u) \\\\ z=\\rho_{3}(u)+v \\tau_{3}(u) \\end{array}\\right.\\\\
直纹面的参数方程 S:⎩⎨⎧x=ρ1(u)+vτ1(u)y=ρ2(u)+vτ2(u)z=ρ3(u)+vτ3(u)
$\\Large\\color{violet}{注:} $
$$
\\begin{aligned}
& \\quad \\text { 锥面 } S:\\left{\\begin{array}{l}
x=x_{0}+v \\tau_{1}(u) \\
y=y_{0}+v \\tau_{2}(u), \\
z=z_{0}+v \\tau_{3}(u)
\\end{array}, \\quad\\right. \\text { 柱面 } \\quad S:\\left{\\begin{array}{l}
x=\\rho_{1}(u)+m v \\
y=\\rho_{2}(u)+n v \\
z=\\rho_{3}(u)+p v
\\end{array}\\right.
\\end{aligned}
$$
二次直纹面
(1) 椭球面不是直纹面，因为它是有界的 .
椭球面： x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}+\\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 a2x2+b2y2+c2z2=1.
虚椭球面： x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = − 1. \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}+\\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1 . a2x2+b2y2+c2z2=−1.
点: x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 0 \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}+\\frac{z^{2}}{c^{2}}=0 a2x2+b2y2+c2z2=0.
(2) 双叶双曲面不是直纹面 .
双叶双曲面 x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = − 1 \\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}-\\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1 a2x操作无法完成。 （OSStatus 错误 -54。）