代数58 ----平面二次曲线方程的化简
Posted 炫云云
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了代数58 ----平面二次曲线方程的化简相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
本节内容：
**1、**理解平移和旋转变换对平面二次曲线的作用，理解移轴和转轴不改变二次曲线的图形， 会熟练利用移轴和转轴化简平面二次曲线方程
**2、**了解伸缩变换对平面二次曲线的作用，理解伸缩改变二次曲线的图形，但不改变它的类型
平面二次曲线方程
F ( x , y ) = a 11 x 2 + 2 a 12 x y + a 22 y 2 + 2 a 1 x + 2 a 2 y + a 0 = 0. F(x,y)= a_{11}x^2+2a_{12}xy +a_{22}y^2 + 2a_{1}x + 2a_{2}y +a_0= 0. F(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a1x+2a2y+a0=0.
回顾:实例表明，通过平面直角坐标变换，可化简平面二次曲线方程，从而快速判定曲线的图形．
问题1:平面二次曲线方程在坐标变换下会发生什么样的变化?
问题2:如何利用坐标变换化简平面二次曲线方程?
一些记号
C : F ( x , y ) = a 11 x 2 + 2 a 12 x y + a 22 y 2 + 2 a 1 x + 2 a 2 y + a 0 = 0. C:F(x,y)= a_{11}x^2+2a_{12}xy +a_{22}y^2 + 2a_{1}x + 2a_{2}y +a_0= 0. C:F(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a1x+2a2y+a0=0.
规定： a i j = a j i , ( 𝑖 , 𝑗 = 1 , 2 ) a_{ij}=a_{ji},(𝑖,𝑗 = 1,2) aij=aji,(i,j=1,2)
记号： G ( x , y ) = a 11 x 2 + 2 a 12 x y + a 22 y 2 G(x,y)= a_{11}x^2+2a_{12}xy +a_{22}y^2 G(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2
G 1 ( x , y ) = a 11 x + a 12 y , G 2 ( x , y ) = a 21 x + a 22 y G_1(x,y)= a_{11}x+a_{12}y , G_2(x,y)= a_{21}x+a_{22}y G1(x,y)=a11x+a12y,G2(x,y)=a21x+a22y
⇒ G ( x , y ) = x G 1 ( x , y ) + y G 2 ( x , y ) \\Rightarrow G(x,y) =xG_1(x,y)+yG_2(x,y) ⇒G(x,y)=xG1(x,y)+yG2(x,y)
矩阵表示为 ( G 1 ( x , y ) G 2 ( x , y ) ) = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] ( x y ) ， \\binom{G_1(x,y)}{G_2(x,y)}= \\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}\\\\ a_{21}& a_{22}\\end{bmatrix}\\binom{x}{y}， (G2(x,y)G1(x,y))=[a11a21a12a22](yx)，
⇒ G ( x , y ) = x G 1 ( x , y ) + y G 2 ( x , y ) = ( x , y ) ( G 1 ( x , y ) G 2 ( x , y ) ) = ( x , y ) [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] ( x y ) \\Rightarrow G(x,y) =xG_1(x,y)+yG_2(x,y)=(x,y)\\binom{G_1(x,y)}{G_2(x,y)}= (x,y)\\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}\\\\ a_{21}& a_{22}\\end{bmatrix}\\binom{x}{y} ⇒G(x,y)=xG1(x,y)+yG2(x,y)=(x,y)(G2(x,y)G1(x,y))=(x,y)[a11a21a12a22](yx)
A
=
[
a
11
a
12
a
21
a
22
]
\\color{blue}{A=\\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}\\\\ a_{21}& a_{22}\\end{bmatrix}}
A=[a11 以上是关于代数58 ----平面二次曲线方程的化简的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章