代数59 ----平面二次曲线的分类
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了代数59 ----平面二次曲线的分类相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
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平面二次曲线方程
F ( x , y ) = a 11 x 2 + 2 a 12 x y + a 22 y 2 + 2 a 1 x + 2 a 2 y + a 0 = 0. F(x,y)= a_{11}x^2+2a_{12}xy +a_{22}y^2 + 2a_{1}x + 2a_{2}y +a_0= 0. F(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a1x+2a2y+a0=0.
**回顾：**通过平面直角坐标变换，可化简平面二次曲线方程， 从而快速判定曲线的图形 .
**问题1：**平面二次曲线的图形有哪几种 ？
**问题2：**什么是平面二次曲线在坐标变换下的不变量？ 如何根据不变量来判定曲线的图形 ？
1、消去二次交叉项 ——利用线性代数知识
回顾：
作适当的转轴变换可以消去平面二次曲线方程中的二次交叉项
平面二次曲线方程：
F
(
x
,
y
)
=
a
11
x
2
+
2
a
12
x
y
+
a
22
y
2
+
2
a
1
x
+
2
a
2
y
+
a
0
=
0.
F(x,y)= a_{11}x^2+2a_{12}xy +a_{22}y^2 + 2a_{1}x + 2a_{2}y +a_0= 0.
F(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a1x+2a2y+a0=0.
G
(
x
,
y
)
=
x
T
A
x
,
x
=
(
x
y
)
,
A
=
[
a
11
a
12
a
21
a
22
]
G(x,y) = \\mathbf{x }^TA \\mathbf{x },\\mathbf{x }= \\binom{x}{y},\\color{blue}{A=\\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}\\\\ a_{21}& a_{22}\\end{bmatrix}}
G(x,y)=xTAx,x=(yx),A=[a11a21a12a22]
,
b
=
(
2
a
1
2
a
2
)
,
c
=
a
0
, \\mathbf{b }=\\binom{2a_1}{2a_2},c=a_0
,b=(2a22a1),c=a0
F ( x , y ) = x T A x + b T x + c F(x,y)=\\mathbf{x }^TA \\mathbf{x }+\\mathbf{b }^T \\mathbf{x }+c F(x,y)=xTAx+bTx+c
消去二次交叉项:
转 轴 变 换 ： \\Large\\color{orange}{转轴变换：} 转轴变换： { x = x ′ c o s θ − y ′ s i n θ y = x ′ s i n θ + y ′ c o s θ \\begin{cases} x= x' cos\\theta -y'sin \\theta \\\\ y= x' sin\\theta +y'cos\\theta \\end{cases} {x=x′cosθ−y′sinθy=x′sinθ+y′cosθ, ⇒ \\Rightarrow ⇒ KaTeX parse error: Undefined control sequence: \\bbox at position 1: \\̲b̲b̲o̲x̲[pink]{\\binom{x…
转 轴 矩 阵 ： \\Large\\color{orange}{转轴矩阵：} 转轴矩阵： R = [ c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ ] , R =\\begin{bmatrix} cos\\theta & -sin\\theta\\\\ sin\\theta& cos\\theta \\end{bmatrix} , R=[cosθsinθ−sinθcosθ], x ′ = ( x ′ y ′ ) \\large\\mathbf{x }'=\\binom{x'}{y'} x′=(y′x′)
𝒙 = 𝑅 𝒙 ′ 𝒙 = 𝑅𝒙′ x=Rx′
【注】
- （1）转轴矩阵是正交矩阵，且行列式为1 .
- (2)$RR^T =I $ .
- (3) $R^{-1} = R^T $.
𝐺 ( 𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) = 𝒙 𝑇 𝐴 𝒙 = ( 𝑹 𝒙 ′ ) 𝑇 𝐴 𝑅 𝒙 ′ = 𝒙 ′ 𝑇 𝑹 𝑇 𝐴 𝑅 𝒙 ′ = 𝒙 ′ T 𝐴 ′ 𝑥 ′ 𝐺(𝑥′, 𝑦′)= 𝒙^𝑇𝐴𝒙 = (𝑹𝒙′)^𝑇𝐴𝑅𝒙′ = 𝒙′^𝑇𝑹^𝑇𝐴𝑅𝒙′ = 𝒙′^T𝐴′𝑥′ G(x′,y′)=xTAx=(Rx′)TARx′=x′TRTARx′=x′TA′x′
其 中 𝐴 ′ = 𝑅 T 𝐴 𝑅 是 对 称 矩 阵 \\large其中 𝐴′ = 𝑅^T𝐴𝑅 是对称矩阵 其中A′=RTAR是对称矩阵 .
要使 $𝐺 (𝑥′, 𝑦′ )= 𝒙′^T𝐴′𝑥′ $不含二次交叉项 ，只要 $𝐴′ $为对角矩阵 .
𝐴
′
=
𝑅
T
𝐴
𝑅
=
[
a
11
′
0
0
a
22
′
]
𝐴′ = 𝑅^T𝐴𝑅 =\\color{blue}{\\begin{bmatrix} a_{11}'& 0\\\\ 0& a_{22}'\\end{bmatrix}}\\\\
A′=[线性代数] 矩阵代数基础 Basic Matrix Algebra