实验4(延伸) MATLAB与微分方程

Posted 2021-06-19 从零开始的智障生活

实验4(延伸) MATLAB与微分方程

由于 实验4 的导弹飞机追击问题需要用到，微分方程的概念，但MATLAB更偏向于离散型概念理解，直接应用并理解比较困难，所以这里单独将微分方程概念抽出来。本文将着重阐述微分方程的概念以及常见应用。关于解微分方程的 MATLAB 命令介绍在本文最下面。

一、微分方程的基本概念

% 初值条件：微分方程过点(1,2)
% 方程建立：任一点(x,y)处的切线的斜率为2x
clear;close all;clc;
syms f(x);
eqn=diff(f,x)==2*x;
cond=f(1)==2;
dsolve(eqn,cond);
disp(ans);% 输出 1 + x^2

% 2. 方程建立:加速度:(ds/dt)/dt=-0.4，本体是利用微分方程的特性求解
% 利用初值条件求s特解，能不能直接在dsolve中加上两个特解去解啊？能
clear;close all;clc;
syms s(t);
eqna=diff(s,t,2)==-0.4; % 基于要求的通解，先建立一个微分方程；但注意这是二阶，一般需要两个初值条件
v=diff(s,t); % 再基于要求的通解，建立一个相关函数，这里是v，目的是给第二个初值条件创建函数
cond=[s(0)==0,v(0)==20]; % 一个初值条件是通解来的，一个条件是上面v给的。
s=dsolve(eqna,cond);% 获取s特解
disp(s);
% 车量停止的速率v=0；即diff(s,t)==0,解出t,
eqnv=diff(s,t)==0;
tend=solve(eqnv,t);
% 当车量停止的时刻是tend，代入s(t),得出结果,符号函数要用命令eval；
t=tend;
fprintf("制动结束时间:%.2fs,制动距离:%.2fm\\n",tend,eval(s));

二、可分离变量的微分方程

这一节我们讨论一阶微分方程。

>> syms y(x);
>> eqn=diff(y,x)==2*x*y;
>> y=dsolve(eqn);
>> y
y = C6*exp(x^2)

>> syms M(t) r M0;
>> eqn=diff(M,t)==-r*M;
>> cond=M(0)==M0;
>> M=dsolve(eqn,cond);
>> disp(M);
M0*exp(-r*t)

clear;close all;clc;
syms m g k v(t)
eqn=diff(v,t)==g-k*v/m;
cond=v(0)==0;
v=dsolve(eqn,cond);
disp(v); % 输出：(g*m - g*m*exp(-(k*t)/m))/k

三、齐次方程

这一节我们导论一阶微分方程。

clear;close all;clc;
syms y(x) ;
eqn=diff(y,x)==y^2/(x*y-x^2);
y=dsolve(eqn);
disp(y);

clear;close all;clc;
syms y(x);
eqn=diff(y,x)==y/(sqrt(x^2+y^2)+x);
dsolve(eqn);
fprintf("以y为因变量，x为自变量：\\n");
disp(ans);
% 以y为因变量，x为自变量：
%                        0 这个是当y=0时
%  (C20*(C20 + 2*x))^(1/2) 这个与结果是一样的 y>0
% -(C20*(C20 + 2*x))^(1/2) 这个与结果是相反数的，因为y<0是人为规定的
%                     x*1i 这个结果是虚数
%                    -x*1i 这个结果是虚数
syms x(y);
eqn=diff(x,y)==(sqrt(x^2+y^2)+x)/y;
dsolve(eqn);
fprintf("以x为因变量，y为自变量：\\n");
disp(ans);
% 以x为因变量，y为自变量：
% ((C22^2*y^2)/4 - 1)/C22
%                    y*1i
%                   -y*1i

四、一阶线性微分方程

这一节我们讨论一阶微分方程。

五、可降阶的高阶微分方程

六、高阶线性微分方程

七、常系数齐次微分方程

八、常系数非齐次线性微分方程

九、常系数线性微分方程组解法举例

帮助说明：