信息学集训 | 14 贪心算法理论与实战
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了信息学集训 | 14 贪心算法理论与实战相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
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导读
信息学能够有助于孩子未来工作发展，提升孩子的综合能力。
这一节课我们开始学习贪心算法，了解贪心算法的思想，并通过一些题目来熟练掌握贪心算法。
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1 看个例子
首先我们先来看一个例子。
我们有如下几个数字：
12， 63， 56， 78， 9， 10， 15我们从这几个数字中，选择4个，使得选出的数的和是最大的。应该怎么选呢？
选四个数，每次都要选择最大的，第一次我们选78，第二次63，第三次56， 第四次15。
在选择的时候，我们每次都很“贪心”，每次都选最大的。这个过程的思想，就是贪心算法。
贪心算法的意思就是说，每次，我们都要选择最好的。
2 贪心算法理论
让我们先来看一下贪心算法的理论吧！
1 贪心介绍
首先我们来了解一下贪心算法。
1、贪心算法的定义
贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。
2、贪心算法的特点
贪心算法不从整体最优上加以考虑，只考虑当前的情况下最优解。算法得到的是在某种意义上的局部最优解。
此外贪心算法只是思想，即满足将情况分顺序，在每次操作能获取当前最优解（局部最优解），全局解为所有局部最优解的和。即可称之为贪心算法。
特别要说明：
1、有些情况下贪心算法也能得到全局最优解（比如我们的例子）。当我们能明确知道贪心算法就能取得最优解时，我们就可以选择贪心算法，因为贪心算法简单易用。
2、竞赛中，如果贪心算法不能保证所有数据得到最优解，但是能让其中某些数据得到最优解，而我们又难以找到更合适的算法时，可以使用贪心算法尽可能多的去获得分数。
贪心算法一般按如下步骤进行：
建立数学模型来描述问题；把求解的问题分成若干个子问题；对每个子问题求该问题下的最优解；将所有子问题的最优解合并。
首先我们来分析一下贪心算法。
1、贪心算法的优缺点
贪心算法的优点就是思路简单，使用较为容易。但是简单就导致其适用的场景一般比较少。其主要缺点如下：
1、不能保证算法是全局最优的。所以也很难适用于一些求最值或者求最优解的问题。
2、对于一些有上界约束性问题不适用，例如背包问题。
2、贪心算法的适用条件
利用贪心法求解的问题应满足如下两个条件。
贪心选择性质最优子结构性质
对于贪心选择性质，即一个问题的整体最优解可通过一系列局部的最优解的选择达到，并且每次的选择可以依赖以前作出的选择，但不依赖于后面要作出的选择。这就是贪心选择性质。对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择性质，必须证明每一步所作的贪心选择最终导致问题的整体最优解。
对于最优子结构性质，当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用贪心法求解的关键所在。
3 贪心算法经典例题
接下来我们通过几道题目来看下贪心算法吧！
1 拿钱
一个钱包有100元，50元，20元，10元，5元，2元，1元各一张，只能拿五次，每次只能拿一张，问最多能拿多少钱？
这个题目非常简单，最简单的做法就是直接输出前五个的和：
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
cout<<185<<endl;
return 0;
}开个玩笑开个玩笑，下面我们正式走进这道题目的题解。
首先说明一下，在竞赛中，这种做法是可以的，这种方法经常用来“骗分”。这道题目，思想是贪心的思想，我们一共拿五次，每次拿一张，想要总的最多，那每次就要拿最多的那个。
我们通过循环，每次判断求当前次的最大值，取到之后，就要把当前最大值加到总数上去，然后去掉最大值。
去掉最大值的方法有很多，例如我们直接将最大值设为0；或者每次将最大值放到最前面，下一轮遍历的时候，就从下一个位置开始判断，跳过当前轮的最大值；或者将数组最后一个位置数据存到最大值位置，然后数据长度-1；或者我们直接排序，计算前五个数的和。我们以第二种做法为例。
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
//为了更好地凸显贪心思想，我们让数组无序
int a[10] = {100, 5, 20, 1, 50, 10, 2};
int sum = 0,t=0,l;
for(int i = 0;i<5;i++){
for(int j = i;j<7;j++){
if(a[j]>t) {
t = a[j];
l = j;
}
}
sum += t;
a[l] = a[i];
a[i] = t;
t = 0;
}
cout<<sum<<endl;
return 0;
}
经验丰富的探险家到了沙漠，看到一片宝藏。他通过记录得知宝藏重量及其价值如下：
| 宝藏 |
A |
B |
C |
D |
E |
| 重量 |
10 |
15 |
5 |
4 |
6 |
| 价值 |
500 |
600 |
500 |
120 |
900 |
现在他的背包能够装下重量为35的宝藏，每种宝藏可以只拿走其中一部分。问探险家最多能够拿走价值多少的宝藏？
这道题目我们想要价值最高，每次都拿价值最高的即可，剩下最后的可以拿一部分。我们要先计算重量为1时每种宝藏的价格。然后对此从大到小排序，然后拿够重量为35的宝藏即可。
代码如下：
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct BZ{
int w,p,x;
}b[5];
bool cmp(BZ b1, BZ b2){
return b1.x>b2.x;
}
int main(){
int sum = 0,bg = 35;
for(int i=0;i<5;i++){
cin>>b[i].w>>b[i].p;
b[i].x = b[i].w/b[i].p;
}
sort(b,b+5,cmp);
for(int i = 0;i<5;i++){
if(bg>=b[i].w){
sum += b[i].p;
bg -= b[i].w;
}
else{
sum += b[i].x*bg;
break;
}
}
cout<<sum<<endl;
return 0;
}组长带小组成员去办理业务，办理完的组员可以回去继续工作，组长预计每个成员办理业务花费的时间如下：
| 组员 |
A |
B |
C |
D |
E |
| 办理时间 |
56 |
76 |
5 |
165 |
45 |
组长希望组员能够尽快回去工作，即在这里排队等待的时间最短。问最短时间是多少？
我们先不考虑时间最短，我们先考虑总的排队时间怎么计算。当第一个人办理业务的时候，后面4个人都要等待，一共需要等待4*t1，第二个人办理业务的时候，后面三个人都要等待，一共需要3*t2。全部的加起来就是4*t1 + 3*t2 + 2*t3 + t4。然后我们考虑怎么样等待时间最少，等待时间最少就是让和最小。和最小，那么t1到t4就要依次增大，所以我们安排贪心策略，就是让办理时间少的用户先办理，这样，总的等待的时间是最少的。
代码如下：
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main(){
int a[5],sum = 0;
for(int i=0;i<5;i++){
cin>>a[i];
}
sort(a,a+5);
for(int i = 0;i<4;i++){
sum += a[i]*(4-i);
}
cout<<sum<<endl;
return 0;
}6 作业
本节课的作业，就是复习上面的所有知识，并完成下面的题目！
1 [NOIP2018 提高组 A] 铺设道路
春春是一名道路工程师，负责铺设一条长度为n的道路。整段道路可以看作是n块首尾相连的区域，一开始，第i块区域下陷的深度为
春春每天可以选择一段连续区间[L,R]，填充这段区间中的每块区域，让其下陷深度减少1。在选择区间时，需要保证，区间内的每块区域在填充前下陷深度均不为0。春春希望你能帮他设计一种方案，可以在最短的时间内将整段道路的下陷深度都变为0。
【输入说明】输入包含两行：第一行包含一个整数n，表示道路的长度。第二行包含n个整数，相邻两数间用一个空格隔开，第i个整数为di：【输出说明】输出文件仅包含一个整数，即最少需要多少天才能完成任务。【输入示例】64 3 2 5 3 5【输出示例】9
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