蓝桥杯国赛CB组 DP 总结

Posted 2021-06-18 iuk11

本质上升子序列

题意： 给定一个长度为200的字符串，问当中有多少个本质不同的上升子序列。
本质不同：子序列的字符串唯一。
上升：字典序升序。

tocyjkdzcieoiodfpbgcncsrjbhmugdnojjddhllnofawllbhfiadgdcdjstemphmnjihecoapdjjrprrqnhgccevdarufmliqijgihhfgdcmxvicfauachlifhafpdccfseflcdgjncadfclvfmadvrnaaahahndsikzssoywakgnfjjaihtniptwoulxbaeqkqhfwl
思路： 思考状态转移方程转移的是什么。

• 我们既然知道子序列一定是上升的，那么必有该子序列的最后一位是字典序最大的。
• 那么我们设 $dp[i]$ 为以 $str[i]$ 结尾的子序列的个数。
• 那么每一个字符都是一个单独的子序列，长度为1.
• 我们用 $j$ 遍历 $[0,i-1]$ 的字符，会得到三种情况：
• 如果 $str[j]<str[i]$，说明可以在 $str[j]$ 后面加一个字符 $str[i]$ ，新的子序列依然是上升子序列。对于这种情况，有 $dp[i]+=dp[j]$，即所有比 $str[i]$ 小的且在 $str[i]$ 之前的字符，都是可以在它们的最后在加上 $str[i]$ 这个字符。并在此统计每个新的子序列的个数，记录在 $dp[i]$ 中。
• 如果 $str[j]=str[i]$，说明我们更新的以 $str[j]$ 结尾的子序列，会变成以 $str[i]$ 结尾的子序列，但二者本质相同，我们按理来说不应该改变任何值，应该保持数量不变，这样正好是以$str[i]$ 结尾的上升子序列的个数。但是多个相同的字符，我们在最后计数的时候只需要一个，其它均属于本质相同，所以对于这种情况有 $dp[i]-=dp[j]$ ，即我们只保留唯一一个。
• 如果 $str[j]>str[i]$ ，说明若在当前的子序列上加上 $str[i]$ 这个字符，将不再属于上升子序列，那么对如这种情况，我们不作任何统计。
• 最终将以在 $[0,str.size()-1]$ 中 以$str[i]$结尾的上升子序列数量做累加，得到最终的答案，即总共有多少个上升子序列。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=210;
ll dp[maxn];
int main(){
    string s;
    cin>>s;
    for(int i=0;i<s.size();i++){
        dp[i]=1;
    }//在long long中，一开始用memset()初始化，并没有初始化成1,但int可以。
    for(int i=0;i<s.size();i++){
        cout<<dp[i]<<endl;
        for(int j=0;j<i;j++){
            if(s[j]<s[i]){
                dp[i]+=dp[j];
            }else if(s[j]==s[i]){
                dp[i]-=dp[j];
            }
        }
    }
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<s.size();i++){
        ans+=dp[i];
    }
    cout<<ans<<endl;
    //system("pause");
    return 0;
}