牛客 - 牛牛的最大兴趣组(思维+数论)

Posted 2021-06-16 Frozen_Guardian

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题目大意：给出 $n$ 个数，要求选出最多的数，使得任意两个数的乘积不能是三次平方数，三次平方数，诸如$2^3=8,3^3=27$

题目分析：这个模型和前两天 $cf$ 上遇到的一个样：CodeForces - 1497E2

这个模型的特点就是，假设要使得任意两个数的乘积不能是 $m$ 次平方数的话，当我们将所有的数字中，出现次数为 $m$ 的倍数的质因子都筛掉后，剩下的数一定会两两匹配。具体到某个质因子来说，假设其出现次数为 $x$，那么其需要和出现次数为 $m-x$ 的数字匹配，其乘积后该质因子的出现次数才能被 $m$ 整除

下面就将本模型扩展到 $m$ 次平方数来思考如何求解

又因为经过上述的处理后，除了 $1$ 之外，其他的数都有且仅有唯一一个数字与其匹配。也就是对于每个数来说，只有一个数字与其乘积会不满足条件，所以这两个数字肯定不能同时出现。既然如此贪心去想的话，保留出现次数较多的那个数字显然是最优的

到此本题的思路就已经解决了，现在留下来两个难点需要我们逐个思考：

1. 如何筛掉出现次数为 $m$ 倍的质因子
2. 在筛完的数字中，如何快速找到与其对应的那个数字，即满足两个数的乘积是 $m$ 次平方数

针对第一点，最朴素的做法就是 $O(\sqrt{n})$ 的唯一分解定理了，对于出现次数可以被 $m$ 整除的质因子直接舍弃即可，可惜时间复杂度不允许

然后考虑也比较常用的，预处理出每个数字的最小质因子，然后 $O(logn)$ 去筛质因子，这种实现时间复杂度可行，但是我们无法预处理到 $2e9$ 的数据范围

其实我们不难发现，并不需要枚举出所有的质因子然后判断，我们的目标是为了筛掉所有 $m$ 次平方数的数字，换句话说我们可以预处理出 $m$ 次平方的数字，然后用这些数字去筛即可，而这样的 $m$ 次平方数，最多有 $\sqrt[m]{2e9}$ 个数字，又因为合数总是可以被分解成质数，所以我们只需要保留质因子即可，这样有效数字最终约等于 $\frac{\sqrt[m]{2e9}}{logm}$，针对本题而言，当 $m=3$ 的时候，这个数值约等于 $200$

那么还剩下一个问题，如何找到对应的数字呢，实际上最朴素的做法还是 $O(\sqrt{n})$ 去唯一分解这个数，如果对于某个质因子 $p$，其出现次数是 $x$，那么其对应的那个数字， $p$ 的出现次数一定是 $m-x$

到此为止，网上的部分题解，都是 $O(n\sqrt{n})$ 实现的，因为本题数据水了，所以给放过去了，其实一组很简单的 $hack$ 样例就是， $n$ 个 $1e9+7$，直接就把复杂度卡成至少 $1e5\ast 1e4=1e9$ 起步了

所以该如何去查找对应的那个数字呢，假设我们要找 $x$ 对应的数字，只需要将 $x$ 变成 $x^{m-1}$，然后再将出现次数为 $m$ 的质因子筛掉即可，具体原理就是：对于任意两个相邻的自然数来说，都是互质的，所以 $gcd(m-1,m)=1$，对于公式 $a+a\ast (m-1)=a\ast m$，两边同时对 $m$ 取模得到 $a+a\ast (m-1)=0|m$，所以将 $x$ 变为 $x^{m-1}$ 然后再将出现次数为 $m$ 的倍数的质因子筛掉就可以找到对应的数字了

总的时间复杂度就是 $O(n\sqrt[m]{2e9})$，对于本题而言就是 $O(200\ast n)$，实现的时候我套了个 $map$ ，理论上说应该是不可以的，但因为本题数据水，所以是可以过的，如果是正解的话我感觉需要打个哈希降一下复杂度，大概就是 unordered_map 了

代码：

// Problem: 牛牛的最大兴趣组
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/7604/C
// Memory Limit: 524288 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
    T f=1;x=0;
    char ch=getchar();
    while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
    if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
bool vis[N];
vector<int>pri;
map<LL,int>mp;
void init() {
	for(int i=2;i<=2000;i++) {
		if(vis[i]) {
			continue;
		}
		for(int j=i+i;j<=2000;j+=i) {
			vis[j]=true;
		}
	}
	for(int i=2;1LL*i*i*i<=2e9;i++) {
		if(!vis[i]) {
			pri.push_back(i*i*i);
		}
	}
}
LL change(LL x) {
	for(auto it:pri) {
		while(x%it==0) {
			x/=it;
		}
	}
	return x;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	init();
	int n;
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		LL x;
		read(x);
		mp[change(x)]++;
	}
	int ans=0;
	for(auto &it:mp) {
		if(it.first==1) {
			ans++;
			continue;
		}
		LL rk=change(it.first*it.first);
		if(!mp.count(rk)) {
			ans+=it.second;
		} else {
			ans+=max(it.second,mp[rk]);
			it.second=mp[rk]=0;
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
    return 0;
}