牛客 - 牛牛的滑动窗口(单调栈+思维+差分)

Posted 2021-06-16 Frozen_Guardian

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题目分析：给出 $n$ 个数，定义滑动窗口的贡献是其中最大值与最小值的乘积，现在问对于长度分别为 $[1,n]$ 的滑动窗口，贡献之和分别是多少

题目分析：考虑暴力解法，是直接 $RMQ$ 预处理一下，然后 $O(n^2)$ 去模拟整个过程

正难则反，考虑正这去枚举区间不行，那么我们是否可以通过枚举每个数字，从而计算每个数字对区间的贡献呢

根据滑动窗口的定义，不难发现在每个长度下的滑动窗口，对于每个位置来说，都有可能作为一次窗口的起点或终点（如果越界的话有时候某些位置是无法满足条件的）

按照官方题解的思路，就是是去枚举 $n$ 个位置作为滑动窗口的终点，我们记为 $r$，然后利用单调栈去维护一下最值，这样就可以将区间 $[1,r]$ 划分成数个连续的区间，满足所有的区间拼接起来就是总区间 $[1,r]$。对于划分后的某段区间 $[x,y]$ 来说，满足 $i\in [x,y]$，区间 $[i,r]$ 的最大值和最小值是相同的。这样滑动窗口的长度属于 $[r-y+1,r-x+1]$ 的贡献加上相应的乘积即可。区间更新最后统一查询，这里我选择使用的是差分数组

最后就是复杂度该如何证明呢，由于本题 $a_i$ 的上限是 $100$，所以单调栈中维护的元素最多不可能超过 $100$ 个，由于同时需要维护两个单调栈分别维护最大值和最小值，所以拼接起来划分的区间最多也是 $100+100=200$ 个，也就是说每次最多会将区间 $[1,r]$ 划分成 $200$ 个子区间，利用差分暴力更新即可，时间复杂度 $O(n\ast max(a_i)\ast 2)$

代码：

// Problem: 牛牛的滑动窗口
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/7604/D
// Memory Limit: 524288 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
    T f=1;x=0;
    char ch=getchar();
    while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
    if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
int a[N],ans[N],mitp,mxtp;
struct Node {
	int val,pos;
}mi[N],mx[N];
void add(int l,int r,int val) {
	ans[l]+=val;
	ans[r+1]-=val;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int n;
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		read(a[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		while(mitp&&mi[mitp].val>=a[i]) {
			mitp--;
		}
		while(mxtp&&mx[mxtp].val<=a[i]) {
			mxtp--;
		}
		int mmax=a[i],mmin=a[i],pos=i,tp1=mitp,tp2=mxtp;
		while(tp1||tp2) {
			if(tp1&&tp2) {
				if(mi[tp1].pos>=mx[tp2].pos) {
					add(i-pos+1,i-mi[tp1].pos,mmin*mmax);
					mmin=mi[tp1].val;
					pos=mi[tp1].pos;
					tp1--;
				} else {
					add(i-pos+1,i-mx[tp2].pos,mmin*mmax);
					mmax=mx[tp2].val;
					pos=mx[tp2].pos;
					tp2--;
				}
			} else if(tp1) {
				add(i-pos+1,i-mi[tp1].pos,mmin*mmax);
				mmin=mi[tp1].val;
				pos=mi[tp1].pos;
				tp1--;
			} else if(tp2) {
				add(i-pos+1,i-mx[tp2].pos,mmin*mmax);
				mmax=mx[tp2].val;
				pos=mx[tp2].pos;
				tp2--;
			}
		}
		add(i-pos+1,i,mmin*mmax);
		mx[++mxtp]={a[i],i};
		mi[++mitp]={a[i],i};
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		ans[i]+=ans[i-1];
		printf("%d ",ans[i]);
	}
    return 0;
}