CodeForces - 1523D Love-Hate(随机数+状压dp)

Posted 2021-06-16 Frozen_Guardian

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题目大意：给出 $n$ 个 $01$ 序列表示二进制状态，问选择至少 $\lceil \frac{n}{2}\rceil$ 个状态进行位运算的与运算后得到的答案中，$1$ 的位数最多的答案

题目分析：考虑最后需要求得的答案，一定是 $\lceil \frac{n}{2}\rceil$ 个状态中，其中一个状态的子集，于是我们就可以去枚举然后统计答案

考虑随机数，每随机抽一个状态，不在最后 $\lceil \frac{n}{2}\rceil$ 个数的概率为 $\frac{1}{2}$，我们可以抽 $50$ 次甚至更多，抽不中的概率就是 $(\frac{1}{2}{)}^{50}$，这个概率以及近似无限接近百分百了

现在的问题就转换为了，给定一个状态，如何快速枚举其子集并统计其出现的个数

最朴素的做法就是，对于每个状态状压枚举其子集，然后维护一个 $cnt$ 数组计数，这个复杂度是 $O(n\ast 2^p)$ 的

所以考虑用状压 $dp$ 去维护前缀和的思想，假设现在有两个状态 $i,j$，满足 $i$ 是 $j$ 的一个子集，即 $i\&j=j$，则根据前缀和的思想，可以有 $cn{t}_j+=cn{t}_i$

利用以上的优化，我们可以 $O(np)$ 处理出初始的 $cnt$ 数组，然后 $O(p\ast 2^p)$ 状压 $dp$ 维护一下前缀和就好了

剩下的 $O(p\ast 2^p)$ 再枚举一下答案更新就可以了

代码：

// Problem: D. Love-Hate
// Contest: Codeforces - Deltix Round, Spring 2021 (open for everyone, rated, Div. 1 + Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1523/problem/D
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 3000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
mt19937_64 eng(time(NULL));
LL s[N];
int cnt[(1<<15)+100];
int a[N];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int n,m,p;
	read(n),read(m),read(p);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		string str;
		cin>>str;
		for(int j=0;j<m;j++) {
			if(str[j]=='1') {
				s[i]|=(1LL<<j);
			}
		}
	}
	iota(a+1,a+1+n,1);
	shuffle(a+1,a+1+n,eng);
	int ans=-1;
	string res;
	for(int t=1;t<=min(50,n);t++) {
		memset(cnt,0,sizeof(cnt));
		int p=a[t];
		vector<int>bits;
		for(int j=0;j<m;j++) {
			if((s[p]>>j)&1) {
				bits.push_back(j);
			}
		}
		int sz=bits.size();
		for(int i=1;i<=n;i++) {//n*p
			int state=0;
			for(int j=0;j<sz;j++) {
				if((s[i]>>bits[j])&1) {
					state|=(1<<j);
				}
			}
			cnt[state]++;
		}
		for(int j=0;j<sz;j++) {//p*2^p
			for(int i=0;i<1<<sz;i++) {
				if(((i>>j)&1)==0) {
					cnt[i]+=cnt[i|(1<<j)];
				}
			}
		}
		for(int i=0;i<1<<sz;i++) {
			if(cnt[i]>=(n+1)/2&&__builtin_popcount(i)>ans) {
				ans=__builtin_popcount(i);
				res=string(m,'0');
				for(int j=0;j<sz;j++) {
					if((i>>j)&1) {
						res[bits[j]]='1';
					}
				}
			}
		}
	}
	cout<<res<<endl;
	return 0;
}