线性映射03——线性空间的同构
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了线性映射03——线性空间的同构相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
线性空间的同构
定 义 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义1} }} 定义1 设 V , U V, \\boldsymbol{U} V,U 是数域 F \\boldsymbol{F} F 上两个线性空间, 若存在一一的线性映射 φ : V → U , \\varphi: V \\rightarrow U, φ:V→U, 则称 V V V 和 U U U 是 同 构 \\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{同构}}} 同构的线性空间, 并称 φ \\varphi φ 是一个 同 构 映 射 \\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{同构映射}}} 同构映射,记 V ≅ U V \\cong U V≅U 或 φ : V ≅ U . \\varphi: V \\cong U . φ:V≅U.
即如果映射 φ : V → U , \\varphi: V \\rightarrow U, φ:V→U, 具有以下性质:
i) φ \\varphi φ 为双射
ii) φ ( α + β ) = φ ( α ) + φ ( β ) , ∀ α , β ∈ V \\quad \\varphi(\\alpha+\\beta)=\\varphi(\\alpha)+\\varphi(\\beta), \\quad \\forall \\alpha, \\beta \\in V φ(α+β)=φ(α)+φ(β),∀α,β∈V :保持加法
iii) φ ( k α ) = k φ ( α ) , ∀ k ∈ P , ∀ α ∈ V \\varphi(k \\alpha)=k \\varphi(\\alpha), \\quad \\forall k \\in P, \\forall \\alpha \\in V φ(kα)=kφ(α),∀k∈P,∀α∈V :保持数乘
称 φ \\varphi φ 是 V V V 到 U \\boldsymbol{U} U 的一个同构映射并称线性空间 V V V 与 U \\boldsymbol{U} U 同构，记作 V ≅ U V \\cong \\boldsymbol{U} V≅U.
例 1 \\Large\\color{violet}{例1} 例1 恒等映射 i d V : V → V i d_{V}: V \\rightarrow V idV:V→V 是 V V V 到自身的同构映射.
例 2 \\Large\\color{violet}{例2} 例2 F n ≅ F n , ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) T ↦ ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) F^{n} \\cong F_{n},\\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right)^{\\mathrm{T}} \\mapsto\\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right) Fn≅Fn,(a1,a2,⋯,an)T↦(a1,a2,⋯,an)
例
3
\\Large\\color{violet}{例3}
例3
V
\\quad V
V 为数域
P
P
P 上的
n
n
n 维线性空间
,
ε
1
,
ε
2
,
⋯
,
ε
n
, \\varepsilon_{1}, \\varepsilon_{2}, \\cdots, \\varepsilon_{n}
,ε1,ε2,⋯,εn为
V
V
V 的一组基, 则前面
V
V
V 到
P
n
P^{n}
Pn 的一一对应
σ
:
V
→
P
n
,
α
↦
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
\\sigma: V \\rightarrow P^{n}, \\alpha \\mapsto\\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right) \\quad
σ:V→Pn,α↦(a1,a2,⋯,an)
∀ α ∈ V \\forall \\alpha \\in V ∀α∈V,这里 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) \\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right) (a1,a2,⋯,an) 为 α \\alpha α 在 ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n \\varepsilon_{1}, \\varepsilon_{2}, \\cdots, \\varepsilon_{n} ε1,ε2,⋯,εn 基下的坐标 , , ,就是一个 V V V 到 P n P^{n} Pn 的同构映射, 所以 V ≅ P n V \\cong P^{n} V≅Pn.
定 理 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定理1} }} 定理1 设 V V V 是 F F F 上的 n n n 维线性空间, 则 V ≅ F n V \\cong F^{n} V≅Fn.
定
理
2
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定理2} }}
定理2 设
V
,
U
V, U
V,U 是数域
F
F
F 上线性空间的，
φ
:
V
→
U
\\varphi: V \\rightarrow U
φ:V→U 是同构映射, 则存在同构映射
ψ
:
U
→
V
,
\\psi: \\boldsymbol{U} \\rightarrow \\boldsymbol{V},
ψ:U→V, 使得 以上是关于线性映射03——线性空间的同构的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
ψ
φ
=
i
d