多项式06——复系数和实系数多项式
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了多项式06——复系数和实系数多项式相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
复系数多项式
1、代数基本定理
∀ f ( x ) ∈ C [ x ] , \\forall f(x) \\in C[x], ∀f(x)∈C[x], 若 ∂ ( f ( x ) ) ≥ 1 , \\partial(f(x)) \\geq 1, ∂(f(x))≥1, 则 f ( x ) f(x) f(x) 在复数域 C \\boldsymbol{C} C 上必有一根.
推 论 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{推论1} }} 推论1 ∀ f ( x ) ∈ C [ x ] , \\forall f(x) \\in C[x], ∀f(x)∈C[x], 若 ∂ ( f ( x ) ) ≥ 1 , \\partial(f(x)) \\geq 1, ∂(f(x))≥1, 则存在 x − a ∈ C [ x ] , x-a \\in C[x], x−a∈C[x],使 ( x − a ) ∣ f ( x ) \\quad(x-a) \\mid f(x) (x−a)∣f(x).即， f ( x ) f(x) f(x) 在复数域上必有一个一次因式。
推 论 2 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{推论2} }} 推论2复数域上的不可约多项式只有一次多项式, 即 ∀ f ( x ) ∈ C [ x ] , ∂ ( f ( x ) ) > 1 , \\forall f(x) \\in C[x], \\quad \\partial(f(x))>1, ∀f(x)∈C[x],∂(f(x))>1, 则 f ( x ) f(x) f(x) 可约.
2、复系数多项式因式分解定理
∀ f ( x ) ∈ C [ x ] , \\forall f(x) \\in C[x], ∀f(x)∈C[x], 若 ∂ ( f ( x ) ) ≥ 1 , \\partial(f(x)) \\geq 1, ∂(f(x))≥1, 则 f ( x ) f(x) f(x) 在复数域。 C \\boldsymbol{C} C 上可唯一分解成一次因式的乘积.
推
论
1
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{推论1} }}
推论1
∀
f
(
x
)
∈
C
[
x
]
,
\\forall f(x) \\in C[x],
∀f(x)∈C[x], 若
∂
(
f
(
x
)
)
≥
1
,
\\partial(f(x)) \\geq 1,
∂(f(x))≥1, 则 n次多项式
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
C
C
C 上具有标准分解式
f
(
x
)
=
a
(
x
−
α
1
)
r
1
(
x
−
α
2
)
r
2
⋯
(
x
−
α
s
)
r
s
f(x)=a\\left(x-\\alpha_{1}\\right)^{r_{1}}\\left(x-\\alpha_{2}\\right)^{r_{2}} \\cdots\\left(x-\\alpha_{s}\\right)^{r_{s}}
f(x)=a(x−α1)r1(x−α2)r2⋯(x−αs)rs
其中
α
1
,
α
2
,
⋯
,
α
s
\\alpha_{1}, \\alpha_{2}, \\cdots, \\alpha_{s}
α1,α2,⋯,αs 是不同的复数,
r
1
,
r
2
,
⋯
,
r
s
∈
Z
+
r_{1}, r_{2}, \\cdots, r_{s} \\in \\mathrm{Z}^{+}
r1,r2,⋯,rs∈Z+ ，且
r
1
+
r
2
+
⋯
+
r
s
=
n
r_{1}+r_{2}+\\cdots+r_{s} =n
r1+r2+⋯+rs=n
推 论 2 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{推论2} }} 推论2 ∀ f ( x ) ∈ C [ x ] , \\forall f(x) \\in C[x], \\quad ∀f(x)∈C[x], 若 ∂ ( f ( x ) ) = n , \\partial(f(x))=n, ∂(f(x))=n, 则 f ( x ) f(x) f(x) 有 n n n 个复根（重根按重数计算）.
定
理
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定理} }}
定理(Vieta定理) 若在数域
F
\\boldsymbol{F}
F 上多项式
f
(
x
)
=
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
f(x)=x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\\cdots+a_{1} x+a_{0}
f(x)=xn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0
在
F
F
F 中有
n
n
n 个根
c
1
,
c
2
,
⋯
,
c
n
,
c_{1}, c_{2}, \\cdots, c_{n},
c1,c2,⋯,cn, 即
f
(
x
)
=
(
x
−
c
1
)
(
x
−
c
2
)
⋯
(
x
−
c
n
)
,
f(x)=\\left(x-c_{1}\\right)\\left(x-c_{2}\\right) \\cdots\\left(x-c_{n}\\right),
f(x)=(x−c1)(x−c2)⋯(x−cn)以上是关于多项式06——复系数和实系数多项式的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章