多项式08——多元多项式和对称多项式
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文章目录
多元多项式
n 元多项式概念
n元多项式
设
P
\\boldsymbol{P}
P 为一个数域,
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
\\boldsymbol{x}_{\\mathbf{1}}, \\boldsymbol{x}_{\\mathbf{2}}, \\cdots, \\boldsymbol{x}_{n}
x1,x2,⋯,xn 是
n
\\boldsymbol{n}
n 个文字, 形式
a
x
1
k
1
x
2
k
2
⋯
x
n
k
n
,
a
∈
P
,
k
i
∈
Z
+
,
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
a x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \\cdots x_{n}^{k_{n}}, \\quad a \\in P, \\quad k_{i} \\in Z^{+}, i=1,2, \\cdots, n
ax1k1x2k2⋯xnkn,a∈P,ki∈Z+,i=1,2,⋯,n
称为数域
P
\\boldsymbol{P}
P 上的一个单项式;
a ≠ 0 a \\neq 0 a=0 时，称此单项式中各文字的指数之和 k 1 + k 2 + ⋯ + k n \\boldsymbol{k}_{\\mathbf{1}}+\\boldsymbol{k}_{2}+\\cdots+\\boldsymbol{k}_{n} k1+k2+⋯+kn 为这个单项式的次数 ; \\boldsymbol{;} ;
如果两单项式中相同文字的指数对应相等，则称它们为同类项;
有限个单项式的和
f
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
=
∑
k
1
k
2
⋯
k
n
a
k
1
k
2
⋯
k
n
x
1
k
1
x
2
k
2
⋯
x
n
k
n
f\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right)=\\sum_{k_{1} k_{2} \\cdots k_{n}} a_{{k_{1} k_{2} \\cdots k_{n}} }x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \\cdots x_{n}^{k_{n}}
f(x1,x2,⋯,xn)=k1k2⋯kn∑ak1k2⋯knx1k1x2k2⋯xnkn
称为数域
P
\\boldsymbol{P}
P 上的一个
n
n
n 元多项式。
n n n 元多项式中系数不为零的单项式的最高次数称为这个多项式的次数.
n元多项式环
数域 P P P 上关于文字 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n} x1,x2,⋯,xn 的全体 n n n 元多项式的集合称为数域 P \\boldsymbol{P} P 上的 n n n 元多项式环，记作
P [ x 1 , x 2 , ⋯ , x n ] P\\left[x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right] P[x1,x2,⋯,xn]
n n n 元多项式的字典排列法
任取n元多项式
f
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
=
∑
k
1
k
2
⋯
k
n
a
k
1
k
2
⋯
k
n
x
1
k
1
x
2
k
2
⋯
x
n
k
n
(1)
f\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right)=\\sum_{k_{1} k_{2} \\cdots k_{n}} a_{k_{1} k_{2} \\cdots k_{n}} x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \\cdots x_{n}^{k_{n}}\\tag{1}
f(x1,x2,⋯,xn)=k1k2⋯kn∑ak1k2⋯knx1k1x2k2⋯xnkn(1)
中的两个单项式
a
x
1
k
1
x
2
k
2
⋯
x
n
k
n
,
b
x
1
l
1
x
2
l
2
⋯
x
n
l
n
\\boldsymbol{a} \\boldsymbol{x}_{1}^{k_{1}} \\boldsymbol{x}_{2}^{k_{2}} \\cdots \\boldsymbol{x}_{n}^{k_{n}}, \\quad \\boldsymbol{b} \\boldsymbol{x}_{1}^{l_{1}} \\boldsymbol{x}_{2}^{l_{2}} \\cdots \\boldsymbol{x}_{n}^{l_{n}}
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