线性方程组——向量组的秩
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了线性方程组——向量组的秩相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
n维向量相关概念
n
n
n 维向量是指由数域
F
F
F中的n个数
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}
a1,a2,⋯,an 构成的有序数组
(
a
1
,
a
2
⋯
a
n
)
\\left(a_{1}, a_{2} \\cdots a_{n}\\right)
(a1,a2⋯an).
注1: 向量常用小写希腊字母
α
,
β
,
γ
,
\\quad \\alpha, \\beta, \\gamma,
α,β,γ, 来表示;
注2: 向量通常写成一行
α
=
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
\\alpha=\\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right)
α=(a1,a2,⋯,an) 称之为行向量;
向量有时也写成一列 α = ( a 1 a 2 ⋮ a n ) \\alpha=\\left(\\begin{array}{c}a_{1} \\\\ a_{2} \\\\ \\vdots \\\\ a_{n}\\end{array}\\right) α=⎝⎜⎜⎜⎛a1a2⋮an⎠⎟⎟⎟⎞ 称之为列向量.
2、向量的相等
如果
n
n
n 维向量
α
=
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
,
β
=
(
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
n
)
\\quad \\alpha=\\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right), \\beta=\\left(b_{1}, b_{2}, \\cdots, b_{n}\\right)
α=(a1,a2,⋯,an),β=(b1,b2,⋯,bn)的对应分量皆相等，即
a
i
=
b
i
,
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
a_{i}=b_{i}, \\quad i=1,2, \\cdots, n
ai=bi,i=1,2,⋯,n
则称向量
α
\\alpha
α 与
β
\\beta
β 相等，记作
α
=
β
.
\\alpha=\\beta .
α=β.
3、特殊的向量
零向量：分量全为零的向量称为零向量，记作0. 即
0
=
(
0
,
0
,
…
,
0
)
0=\\left(\\begin{array}{llll} 0, & 0, & \\ldots, & 0 \\end{array}\\right)
0=(0,0,…,0)
负向量: 向量
(
−
a
1
,
−
a
2
,
⋯
,
−
a
n
)
\\left(-a_{1},-a_{2}, \\cdots,-a_{n}\\right)
(−a1,−a2,⋯,−an) 称为向量
α
=
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
\\alpha=\\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right)
α=(a1,a2,⋯,an)的负向量，记作-
α
\\alpha
α.
线性运算:
设
α
=
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
,
β
=
(
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
n
)
,
k
\\alpha=\\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right), \\quad \\beta=\\left(b_{1}, b_{2}, \\cdots, b_{n}\\right), \\quad k
α=(a1,a2,⋯,an),β=(b1,b2,⋯,bn),k 为数域
F
F
F 中的数
α
+
β
=
(
a
1
+
b
1
,
a
2
+
b
2
,
⋯
,
a
n
+
b
n
)
\\alpha+\\beta=\\left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, \\cdots, a_{n}+b_{n}\\right)
α+β=(a1+b1,a2+b2,⋯,an+bn)
称
α
+
β
\\alpha+\\beta
α+β 为向量
α
\\alpha
α 与
β
\\beta
β 的和
k
α
=
(
k
a
1
,
k
a
2
,
⋯
,
k
a
n
)
k \\alpha=\\left(k a_{1}, k a_{2}, \\cdots, k a_{n}\\right)
kα=(ka1,ka2,⋯,kan)
称
k
α
k \\alpha
kα 为向量
α
\\alpha
α 与数
k
k
k 的数量乘积
向量运算的基本性质
-
α + β = β + α \\quad \\alpha+\\beta=\\beta+\\alpha 解决抽象矩阵向量以及抽象矩阵方程问题的一些技巧